发布时间 : 星期四 文章2011-2013年卓越联盟自主招生数学试题及答案更新完毕开始阅读
2011年卓越联盟自主招生数学试题
(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为 (A)
? 6
(B)
? 3
(C)
2? 3 (D)
5? 6(2)已知sin2(?+?)=nsin2?，则
tan(?????)22等于
tan(?????)
(A)
n?1 n?1
(B)
n n?1(C)
n n?1 (D)
n?1 n?1(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为 (A)153
(B)155
(C)5 3 (D)5 5z2?2z?2(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则的最大值为
z?1?i(A)2-1
(B)2-2
(C)2+1 (D)2+2 (5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为
(A)y=16x(B)y=8x(C)y=-16x (D)y=-8x
(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为
(A)3
2
2
2
2
(B)2
(C)3 2 (D)
2 2(7)若关于x的方程(A)(0，1)
|x|2
=kx有四个不同的实数解，则k的取值范围为( ) x?411
(B)(，1)(C)(，+∞) (D)(1，+∞)
44
(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为
(A)5
(B)6 (D)22 (C)7 (9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A)100
(B)120
(C)140 (D)160
(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
k2?的旋转，?表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用??表示72
3
4
变换的复合，先做?，再做?，用?表示连续k次的变换，则???????是( ) (A)?4
(B)?5
(C)?? 2
(D)??
2
(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an． (Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列； (Ⅱ)若lim(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．
n?? (12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC． (Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？
(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值． (14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn． (Ⅰ)求EX1；
(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b； (Ⅲ)证明：EXn+1=(1-
1)EXn+1． a?b(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)；
1b(Ⅱ)设0 b?a?a(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为ma,b，证明：ma,b 一.选择题1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.B10.D 二.解答题 11.【解】(1)证:由a1令bn?a,a2?b,2an?2?an?1?an,得2(an?2?an?1)??(an?1?an). 11?an?1?an,则bn?1??bn,所以{bn}是以b?a为首项,以?为公比的等比数列; 221n?1*(2)由(1) 可知bn?an?1?an?(b?a)(?)(n?N), 211?(?)n2,即a?a?2(b?a)[1?(?1)n], 所以由累加法得an?1?a1?(b?a)n?11321?(?)221?a?(b?a)[1?(?)n?1](n?2),n?1时,a1?a也适合该式; 3221n?1*所以an?a?(b?a)[1?(?)](n?N) 32也所以有ana1?a2?11?(?)n22]?na?2(b?a)n?4(b?a)?4(b?a)(?1)n ?an?na?(b?a)[n?1339921?2由于lim(a1?a2n???24?an)?4,所以a?(b?a)?0,?(b?a)?4,解得a?6,b??3. 39 12.【解】(1)过B作直线BEAC,交AD延长线于E,如图右. BDAB所以,??2, CDACDEBEBD也所以有???2,即BE?2AC,AE?3BD. ADACDC222在?ABE中,有AE?AB?BE?2AB?BEcos?EBA. 即(3AD)2A C B D ?(2AC)2?(2AC)2?2(2AC?2AC)?cosA 2E 所以,9(kAC)所以0?k816?8AC2?8AC2?cosA,即k2?(1?cosA)?(0,) 994?. 312(2)因为S?ABC?AB?AC?sinA?ACsinA?1 2在?ABC中,有BC记 2?AB2?AC2?2AB?ACcosA?5AC2?4AC2cosA?5?4cosA sinAy?5?4cosA22,则ysinA?4cosA?5,y?4sin(A??)?5 sinA当sin(A??)?1时,此时 y2?42?5?y?3 3. 5y取最小值,此时cosA??85时,BC取最小值3. 15x2y213.【解】设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),因为它与直线y?x?3只有一个公共点, ab故当k?x2y2?1,??2222222所以方程组?a2b2只有一解,整理得(a?b)x?23ax?3a?ab?0. ?y?x?3.?所以 ?(?23a2)2?4(a2?b2(3a2?a2b2)?0,得a2?b2?3. 2又因为焦点为F1(?1,0),F2(1,0),所以a?b2?1,联立上式解得a2?2,b2?1 x2所以椭圆方程为?y2?1. 2(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,则S四边形PMQN若PQ斜率存在时,设为k(k所以直线PQ方程为 ?|PQ|?|MN|?222?21?212?2. 1?0),则MN为?. ky?kx?k.设PQ与椭圆交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2) ?x22??y?1,2222联立方程?2化简得(2k?1)x?4kx?2k?2?0. ?y?kx?k.??4k22k2?2则x1?x2? ,x1x2?22k2?12k?1(1?k2)[16k4?4(2k2?1)(2k2?1)]k2?1?222所以|PQ|?1?k|x1?x2|? 2k2?12k?12k2?1同理可得|MN|?22 2?k2所以S四边形PMQN12k|PQ|?|MN|(k?1)k?2k?11??44?44?4(?422) 2222(2?k)(2k?1)2k?5k?222k?5k?222421k211 ?4(?)?4(?) 24k4?10k2?424k2?41?10k2因为4k2?4142?10?24k??10?18（当且仅当k2?1时取等号） 22kk11116],也所以4(?)?[,2] 11824k2?41?1094k2?42?102kk16所以综上所述,S四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2. 9所以, 1?(0,14.【解】(1)n?1时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),概率为 a;也可能为a?1个(即取出的是黑球),概率为a?baba2?ab?bb,故EX1?a?. ?(a?1)??a?ba?ba?ba?ba(2)首先,P(Xn?1?a?0)?P?;k?1时,第n?1次取出来有a?k个白球的可能性有两种; 0a?b第n次袋中有a?k个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a?b个白球(故此时黑球有b?k个),第n?1次取出 a?k来的也是白球,这种情况发生的概率为P; k?a?b第n次袋中有a?k?1个白球,第n?1次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a?b个,故此时黑球的个数为b?k?1.这 b?k?1种情况发生的概率为P?(k?1). k?1a?ba?kb?k?1故P(Xn?1?a?k)?P??P?(k?1). kk?1a?ba?b(3)第n?1次白球的个数的数学期望分为两类: 第n次白球个数的数学期望,即EXn.由于白球和黑球的总个数为a?b,第n?1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是 EXna?b?EXn;第n?1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EXn?1. a?ba?bEXna?b?EXn(EXn)2EXn 故EXn?1?EXn??(EXn?1)??(1?)(EXn?1) a?ba?ba?ba?b