发布时间 : 星期一 文章高三数学一轮基础巩固 第4章 第5节 简单的三角恒等变更新完毕开始阅读
2cos10°－sin20°2cos30°－20°－sin20°
＝
cos20°cos20°＝
3cos20°＋sin20°－sin20°
＝3.
cos20°
3απ
15．(2013·江苏苏、锡、常、镇调研)已知钝角α满足cosα＝－，则tan(＋)的
524值为________．
[答案] －3
34
[解析] ∵cosα＝－，α为钝角，∴sinα＝，
55
2sinα44α∴tanα＝＝＝－，由二倍角公式得tanα＝＝－，且tan>0，
cosα33322α－1－tan
52tan＋1
2ααπ
解得tan＝2，故tan(＋)＝＝－3.
224α1－tan
2
111π
16．(2014·湖北武汉联考)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α∈(0，)，α＋
7142
4
5
2tan
ααβ∈(，π)，则cosβ的值为________．
1
[答案]
2
ππ111
[解析] ∵α∈(0，)，α＋β∈(，π)，cosα＝，cos(α＋β)＝－，
22714∴sinα＝1－cosα＝sin(α＋β)＝1－cos
2
2
π
2
1－
17
2
＝
43
， 7
11
1－－
14
2
α＋β＝＝53
， 14
111)×＋147
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－53431
×＝. 1472
三、解答题
3－2cos2α17．(2013·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f(α)＝.
4sinα(1)用sinα表示f(α)；
(2)若f(α)＝sinβ，求α及β的值．
- 9 -
3－21－2sinα1＋4sinα[解析] (1)f(α)＝＝. 4sinα4sinα(2)∵0<α<π，∴sinα>0. 1
∴f(α)＝sinα＋≥24sinα1
＝1， 4
22
又f(α)＝sinβ≤1，∴f(α)＝1， 1
此时sinα＝，
4sinα1π5π
即sinα＝，∴α＝或.
266
又∵0<β<π，0 所以f(α)＝sinβ＝1，所以β＝. 2π5ππ 综上可知α＝或，β＝. 662 18．(文)(2014·天津十二区县模拟)已知f(x)＝23cosx＋2sin(π－x)cos(－x)＋a－3(x∈R，a∈R，a为常数)． (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； π (2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标伸6ππ 长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若当x∈[，]时，g(x)的最小 63值为2，求a的值及函数y＝g(x)的解析式． π [解析] (1)f(x)＝sin2x＋3cos2x＋a＝2sin(2x＋)＋a， 32π 函数f(x)的最小正周期为T＝＝π， 2πππ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 232 2 kπ－ 5ππ ≤x≤kπ＋，k∈Z， 1212 5ππ 所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 1212 ππ (2)f(x)＝2sin(2x＋)＋a向右平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变36为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝2sinx＋a， ππ 当x∈[，]时，g(x)∈[a＋1，a＋3]， 63 - 10 - g(x)取最小值2，∴a＋1＝2，a＝1， 所以g(x)＝2sinx＋1. (理)(2013·山东实验中学三诊)设函数f(x)＝3sinxcosx＋cosx＋a. (1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； ππ3 (2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的解析式； 632π (3)将满足(2)的函数f(x)的图象向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2 121π 倍，再向下平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象与x轴的正半轴、直线x＝ 22所围成图形的面积． [解析] (1)f(x)＝ 31＋cos2xsin2x＋＋a 22 2 π1 ＝sin(2x＋)＋a＋，∴最小正周期T＝π. 62由得 π2π 故函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 63ππππ5π (2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. 636661π ∴－≤sin(2x＋)≤1. 26 ππ1113当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值最小值的和(1＋a＋)＋(－＋a＋)＝， 632222∴a＝0，∴f(x)＝sin(2x＋ π1 )＋. 62 ππ3π ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 262π2π ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 63 (3)由题意知g(x)＝sinx， 所求面积为sinxdx＝－cosx|＝1. - 11 -