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解：在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度为dr的面积元，其面积为dS = bdr．当板的角速度ω时，面积元的速率为v = ωr，所受的阻力为df = kvdS = kωrbdr，阻力产生的力矩为dM = rdf = kω2r3bdr，因此合力矩为M?2
2
22
a0?k?brdr?2314k?ba．
24板绕转轴的转动惯量为I = ma/3，其角加速度为???负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反．
由于β = dω/dt，可得转动的微分方程分离变量得
3kba4m222MI??3k?ba4m22，
d?dt2??t?3k?ba4m1，
dt??d??2，积分得
3kba4m??C．
3kba4m2当t = 0时，ω = ω0，所以C = -1/ω0，因此转动方程为当ω = ω0/2时，解得时间为t?
4m3kba?02t?1??1?0．
．
2.38 一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上． （1）问它能上升多高？
（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能． 解：（1）碎片上抛的初速度为v0 = ωR， 根据匀变速直线运动公式v2 – v02 = -2gh， 可得碎片上升的高度为h = v02/2g =ω2R2/2g．
（2）余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有I?所以角动量为L = Iω = R(M/2 – m)ω．
转动动能为Ek?
12I?2R ω 图2.38
12MR?mR，
222
?1M22(?m)?R． 222.39 两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA = 60kg，mB = 70kg，它们速率分别为vA = 7m·s-1，vB = 6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为1.5m．求该瞬时： （1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量； （2）系统的角速度；
（3）两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？
解：（1）设质心距A的平行线为rA，距B的平行线为rB，则有rA + rB = r， 根据质心的概念可得mArA = mBrB，
mBmAmA r，rB?r． 解方程组得rA?vA mA?mBmA?mBrA rB vB mB 两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为
r 21
L?mAvArA?mBvBrB?mAmBmA?mBm·s)． r(vA?vB)= 630(kg·
2-1
（2）根据角动量守恒定律得L = (IA + IB)ω，其中IA和IB分别是两绕质心的转动惯量
IA = mArA2和IB = mBrB2．角速度为ω = L/(IA + IB) = 8.67(rad·s-1)． （3）两人拉手前的总动能就是平动动能Ek1?拉手后的总动能是绕质心的转动动能：Ek2?1212mAvA?2212mBvB= 2730(J)；
22IA??12IB?= 2730(J)，
可见：这一过程能量是守恒的．
[讨论]（1）角动量．根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为
mAmBmAmB222r， I?mArA?mBrB?r(rA?rB)?mA?mBmA?mB角速度为??LI?vA?vBr
可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．
（2）损失的能量．两人的转动动能为
1mAmB122?(vA?vB)， Ek2?(IA?IB)?2mA?mB2因此动能的变化量为ΔE = Ek2 – Ek1?简化得?E??(mAvA?mBvB)2(mA?mB)21mAmB11222(vA?vB)?(mAvA?mBvB)
2mA?mB22，
负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则ΔE≠0，即能量不守恒．在本题中，由于mAvA = mBvB，所以能量是守恒的．
2.40．一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度ω0．
解：以O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为mv0l/4．在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为Iω0．
棒绕质心的转动惯量为Ic = ml2/12，
2根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为I?Ic?md?l/4 l O l/4 v0 图2.40 112ml?m(214l)?2748ml．
2根据角动量守恒定律得mv0l/4 = Iω0， 所以角速度为?0?
14mv0l/I?12v07l．
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第三章 狭义相对论
3.1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？
解：地球的半径约为R = 6400千米 = 6.4×106(m)，自转一圈的时间是T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)，赤道上钟的线速度为v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．
将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．
南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时． 方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时
Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为
1v2?t`2，可求得B钟的本征时为?t`??t1?(v/c)?[1?()]?t， ?t?22c1?(v/c)因此时间差为 ?t??t`?1v25
()?t=1.898×10(s)．在南极上看，赤道上的钟变慢了． 2c方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时
Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为
?t`??t1?(v/c)2，可求得A钟的本征时为?t??t`1?(v/c)?[1?1v2c221v2()]?t`， 2c因此时间差为 ?t`??t?()?t=1.898×`10(s)．在赤道上看，南极上的钟变慢了．
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[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．
有人直接应用公式计算时间差
?t??t`??t`1?(v/c)2??t`?[1?1v21v2()]?t`??t`?()?t`， 2c2c由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以
S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．
?t`??t??t1?(v/c)2??t?[1?1v21v2()]?t??t?()?t 2c2c
3.2 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
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解：直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为
lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据
`2尺缩效应得lx?lx1?(v/c)，因此tan?`?lylx``?tan?1?(v/c)2，
可得夹角为?`?arctan{[1?(v/c)2]?1/2tan?}．
3.3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
解：在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
?t`??t1?(v/c)2， 即 5?41?(v/c)2，
可以求两系统的相对速度为v = 3c/5．在S`系中A和B两事件的空间距离为
Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
3.4 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为?0?2L0c．若
??将这个光钟横放在一个以速度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两镜面中心的连线与?v平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？
解：不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时， 所以它们的关系为 ???01?(v/c)2
3.5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
解：根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
?x`??x?v?t1?(v/c)2， ?t`??t??xv/c1?(v/c)??xv/c2222----------（1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
?x`??x1?(v/c)2， ?t`?-----------（2）
21?(v/c)由（2）之上式得它们的相对速度为 v?c1?(?x/?x`)-----------（3） 将（2）之下式除以（2）之上式得 所以 ?t`???x`c?t`?x`??2vc2，
21?x2??1?()c?x`(?x`)?(?x)= -0.577×10-8(s)．
[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如
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