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2.8 质量为m的物体，最初静止于x0，在力f??体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．
kx2kx2(k为常数)作用下沿直线运动．证明物
证：当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
f???ma?mdxdt22dxdt?22
?v12利用v = dx/dt，可得
?dvdtdxdvdtdxdv， dxmv?2因此方程变为 mvdv??kdxx2， 积分得
kx?C．
利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此mv2?21kx?kx0，
即 v?2km(1x?x01)． 证毕．
[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
如果f(x) = -k/xn，则得
112mv??k?22dxxn．
（1）当n = 1时，可得mv??klnx?C．
2利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 即 v?2kmlnx0x1212mv?kln2x0x，
．
mv??2（2）如果n≠1，可得
k1?nx1?n?C． kn?1x01?n利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C??即 v?
2k(1n?1，因此
12mv?2kn?1x(1n?1?1x0n?1 )，
(n?1)mx?1x0n?1)． 当n = 2时，即证明了本题的结果．
2.9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气
阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求： （1）小球速率随时间的变化关系v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间T．
解：（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程f??mg?kv?m分离变量得dt??m积分得t??mkdvdtmd(mg?kv)，
dvmg?kv??kmg?kv，
mkln(mg?kv0)，
ln(mg?kv)?C．当t = 0时，v = v0，所以C? 9
因此 t??mklnmg?kvmg?kv0??mklnmg/k?vmg/k?v0mgk，
ktm)?mgk小球速率随时间的变化关系为 v?(v0?)exp(?． mg/k?v0?mln(1?kv0（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为T?mkmg/kkmg[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
mgktmg由于v = dx/dt，所以dx?[(v0?)exp(?)?]dt，
kmkm(v0?mg/k)ktmg即dx??dexp(?)?dt，积分得
kmkm(v0?mg/k)m(v0?mg/k)ktmg， x??exp(?)?t?C`，当t = 0时，x = 0，所以C`?kmkkm(v0?mg/k)ktmg[1?exp(?)]?t． 因此 x?kmk（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
dvf?mg?kv?m，
dtmgmgkt?(?v0)exp(?)． 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为v?kkm这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mg/k．
2.10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物A v0 ln )．
体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
解：物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即N = mv2/R． 物体所受的摩擦力为f = -μkN，负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据牛顿第二定律得f???km即
?kRdt??dvv2R 图2.10 v2R?mdvdt，
1v0．积分得
1v0?kRt?1v?C．当t = 0时，v = v0，所以 C??，
因此
?kRt?1v?．解得 v??v01??kv0t/R．
Rln(1?由于dx?v0dt1??kv0t/RRd(1??kv0t/R)?k1??kv0t/RR，积分得x?ln(1??kv0tR?k)?C`，
当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此x?
?kv0tR?k)．
10
2.12 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示． 解：珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为F = mgtgθ． 珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ．
根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ， 可得
g2?R?，解得 ???arccos2． cos?R?F O x 图2.13 ω θ r 图2.12
R m mg mg
2.13 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
解：方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为I?m x ?π/2?0(?kAcos?t)dt??kAπ/2??sin?t0??kA?
方法二：利用动量定理．小球的速度为v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为p1 = mv1 = 0，末动量为p2 = mv2 = -mωA， 小球获得的冲量为I = p2 – p1 = -mωA，可以证明k =mω，因此I = -kA/ω．
2.14 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？ 解：小球动量的大小为p = mv，
???但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义?p?p2?p1 ???得p2?p1??p，由此可作矢量三角形，可得?p?2p?2mv．
-1
2
Δp p1 p2 p1 m R 因此向心力给予小球的的冲量大小为I??p= 1.41(N·s)．
2
[注意]质点向心力大小为F = mv/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
mv．
R42R4假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2/R = mωv，
其分量大小分别为Fx = Fcosθ = Fcosωt，Fy = Fsinθ = Fsinωt， 给小球的冲量大小为dIx = Fxdt = Fcosωtdt，dIy = Fydt = Fsinωtdt，
I?Ft?mvT2?mv2?R/TT??y Fx F O m Fy R x 积分得Ix?Iy??T/40Fcos?tdt?FT/4?sin?t0?T/4F???mv， F?T/40Fsin?tdt??22F?cos?t0??mv，
合冲量为I?
Ix?Iy?2mv，
所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
11
2.15 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？ 解：球上升初速度为vy?其速度的增量为?v?2x-1
s)， 2gh= 14(m·2y-1
s)． v?v= 24.4(m·
-1
vy Δv
棒给球冲量为I = mΔv = 7.3(N·s)，
对球的作用力为（不计重力）F = I/t = 366.2(N)．
2.16 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在
一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s）
解：物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma，物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程T = Ma， 联立方程可得a = g/2 = 5(m·s-2)．
根据运动学公式s = v0t + at/2，可得B拉C之前的运动时间t?2s/a= 0.4(s)．
-1
此时B的速度大小为v = at = 2(m·s)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得2Mv = 3Mv`， 因此C开始运动的速度为v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．
2.17 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？ 解：炮弹在最高点的速度大小为v = v0cosθ， 方向沿水平方向．
根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得
mv/2?m2v`cos45?，
2
-2
vx B C 图2.16 A v0 θ v` 45v v` 所以 v` = v/cos45° =
2v0cos?．
2.18 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
?解:：取弧长增加的方向为正方向，弧位移ds的大小为ds = Rdθ．
?重力G的大小为G = mg，
45° N θ R F ds f m图2.18
方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为
??dW1?G?ds?Gcos(??π/2)ds??mgRsin?d?，
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