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t2?2lV?2lv?u22?2l/v1?u/v22 ?t01?u/v22． 证毕．
1.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会h 被雨水淋湿？
解：雨对地的速度v2等于雨对车的速度v3加车对地的速度v1，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα = l/h． 方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα， 即 v1?v2(sin??lhcos?)． 证毕．
l θ v2 v1 ???图1.10
α h v3 α θ v2 v⊥ l v1 ，所以
方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得
v1?v2sin(???)cos??v2lhv1sin(???)?v2sin(90???)sin?cos??cos?sin?cos??v2(sin??cos?tan?)，
即 v1?v2(sin??cos?)．
方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为l = (v1 – v2sinθ)t，h = v2cosθ?t．两式消去时间t即得所求． 证毕．
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第二章 质点力学的运动定律守恒定律
2.1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速??度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解：质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t，y?12at?2v0 P A
图2.1
B α 12gsin??t．
2将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为y?gsin?v02x，这是抛物线方程．
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2.2桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs
a1 = 0.30．求： T1 ?m1 a2 m T2 -2
2（1）今以水平力F拉板，使两者一起以a = 1m·s的加 f2 f1 速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
图2.3 （2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
解：（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力Nm = mg = 19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为fm = ma = 2(N)， 这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力NM = (m + M)g = 29.4(N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为fM = μkNM = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为 f =μsmg = ma`，可得 a` =μsg．板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g = (μs + μk)(m + M)g， 算得 F = 16.17(N)．
因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．
Nm f NM f F a` NM fM Nm fm a f `
2.3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计） 解：利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2． 对两物体列运动方程得T2 - μm2g = m2a2，F – T1 – μm1g = m1a1．
F??(m1?2m2)g-2
可以解得 m2的加速度为a2?= 4.78(m·s)，
m1/2?2m2m2m1/2?2m2绳对它的拉力为T?
(F??m1g/2)= 1.35(N)．
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2.4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式
1k?1k1?1k2k1 (a) k1 k2 F ；
k2 图2.4
F (b) （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
解：当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F2 = k2x2．
（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x1 + x2， 因此
Fk?F1k1?F2k21k1k11k2，即??．
（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．
2.5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T． （1）小车沿水平线作匀速运动；
?（2）小车以加速度a1沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成υ角；
?（4）用与斜面平行的加速度b1把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
?（5）以同样大小的加速度b2（b2 = b），将小车从斜面上推下来．
图2.5 解:（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
θ （2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力． T 由于 tanθ = ma/mg， 所以 θ = arctan(a/g)； ma 绳子张力等于摆所受的拉力 T?(ma)?(mg)?ma?g．
2222mg （2） （3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以θ = υ；T = mgcosυ．
（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一θ T T θ 直角三角形，θ角的对边是mbcosυ，邻mb ma υ 边是mg + mbsinυ，由此可得：
mg mg mbcos?， tan??υ mg?mbsin?υ 因此角度为 ??arctan2T θ mb mg υ （5） bcos?g?bsin?2（3） ；
22（4） 而张力为T?(mb)?(mg)?2(mb)(mg)cos(π/2??)?mb?g?2bgsin?．
（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．
O l 2.6 如图所示：质量为m = 10kg的小球，拴在长度l = 5m的轻绳子的一
端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： m θ （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球C B 的加速度为多大？绳中的张力多大？
图2.6
（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？
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解：（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．
小球的运动方程为F?ma?mdsdt22O l θ T m ，
dsdt?ld?dtB ，
C mg 其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为v?因此F?m取积分
dvdt?mdvd?d?dt0?mlvdvd?， 即 vdv = -glsinθdθ -------（1） 120?vB0vdv??gl?60?sin?d?，得 v?glcos?60?2B，
解得vB?s)． gl= 2.21(m·vBR2-1
由于TB?mg?m?m12vBl22?mg，所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得因此速度为vC?vC?glcos??C，当 θ = 60o时，vC = 0，所以C = -lg/2，
gl(2cos??1)．
vC2切向加速度为at = gsinθ；法向加速度为an??g(2cos??1)．
R由于TC – mgcosθ = man，所以张力为TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)．
（3）当 θ = 60o时，切向加速度为at?32s)， g= 8.49(m·
-2
法向加速度为 an = 0，
绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2.7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）
解：小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则F = mgcosθ． 小球的运动方程为F?ma?m由于v?dsdth m N θ mg 图2.7
dsdt22，s表示弧长． dvdt2dtdtdt因此 vdv = gcosθds = gdh，
，所以
ds22?d(ds)??dvdsdsdt?vdvds，
h表示石下落的高度．积分得 因此速率为 v?
2gh．
12v?gh?C，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，
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