发布时间 : 星期六 文章高中数学经典例题及跟踪训练 圆方程及其应用更新完毕开始阅读
高中数学经典例题及跟踪训练 圆方程及其应用
I．题源探究·黄金母题
【例1】求以点N?1,3?为圆心，并且与直线3x?4y?7?0相切的圆的方程．
【答案】?x?1???y?3?22精彩解读
【试题来源】人教A版必修2P132A组T3． 【母题评析】本题考查直线和圆的位置关系、
256? 253?3?4?73???4?22圆的方程的求法，考查考生的分析问题解决问题的能力．
【解析】由圆心到切线的距离等于半径得：r??16，?5【思路方法】结合圆的切线的性质和圆的标准方程解题．
【试题来源】人教A版必修2P144A组T2．
所求的圆的方程为?x?1???y?3??22256． 25【例2】求圆心在直线3x?y?5?0上，并且经过原点和点
?3,?1?的圆的方程．
5?25 2【答案】?x??y???9?3?2【解析】设所求的圆的方程为?x?a???y?b??r．
222
【试题来源】人教版A版必修2P120例3． 【母题评析】本题已知三个条件圆的标准方程，解答时根据利用直接法分别求出圆心的坐标与半径，具有较强的代表性，命题人常常以
?a2?b2?r2,?22?2由已知，得??a?3???b?1??r,解此方程组，得
?3a?b?5?0.??5255?25． 2a?,b?0,r2?,?所求圆的方程为?x??y???399?3?【例3】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,?2)，且圆心C在直线l：x?y?1?0上，求圆心为C的圆的标准方程． 【解析】因为A(1,1)，B(2,?2)，
所以线段AB的中点D的坐标为(,?)， 直线AB的斜率为kAB23212此为母题加以改造命制新的高考试题． 【思路方法】本题解答主要是利用直接法求圆的方程，即根据利用两条直径所在的直线首先求出圆心坐标，利用圆心到圆上的已知点求出
?2?1???3， 2?1因此线段AB的垂直平分线l?的方程是
y?113?(x?)，即x?3y?3?0， 232圆的半径，进而求得圆的标准方程．
?x?3y?3?0?x??3解方程组?，得?，
x?y?1?0y??2??即圆心坐标为(?3,?2)， 圆的半径r?(1?3)2?(1?2)2?5，
所以圆C的标准方程为(x?3)2?(y?2)2?25．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考江苏13】在平面直角坐标系xOy中，????????A(?12,0),B(0,6),点P在圆O：x?y?50上，若PA?PB?20，
22
【命题意图】这类题主要考查圆的方程的求法、圆的方程的应用，以及逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可以出现在解答题一个小题中，涉及到知识难度中等．
【难点中心】求圆的标准方程主要有两种方法：（1）直接法，该法的难度是如何确定圆心与半径；（2）待定系数法，此法的难度是如何建立关于参数a,b,r或D,E,F的方程．有时面临两种方法都可以利用，此时的难点是选择何种方法较为简捷．
则点P的横坐标的取值范围是 ▲ ． 【答案】??52,1?．
??【解析】设P?x,y?，则
????????PA???12?x,?y?,PB???x,6?y?，
?????????PA?PB?x?x?12??y?y?6??x2?12x?y2?6y?12x?6y?50,?12x?6y?50?20,?2x?y?5?0.把y?2x?5代入x2?y2?50，得
x2?4x2?20x?25?50,?x2?4x?5?0,?x1?1,x2??5，
?点P的横坐标的取值范围是??52,1?．
??【例2】【2016高考天津卷】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线2x?y?0的距离为则圆C的方程为___________． 【答案】(x?2)2?y2?9
【解析】设圆心为C(a,0),(a?0)，则由题意，得45，5|2a|5?45，5解得a?2，所以圆C的半径为r?|CM|?22?5?3，故圆C的方程为(x?2)2?y2?9．
【例3】【2016浙江高考卷】已知a?R，方程
a2x2?(a?2)y2?4x?8y?5a?0表示圆，则圆心坐标是
_____，半径是______． 【答案】(?2,?4)；5．
【解析】由题意a2?a?2，得a??1或2．当a??1时方程为
x2?y2?4x?8y?5?0，即(x?2)2?(y?4)2?25，圆心为
(?2,?4)，半径为5；当a?2时方程为
154x2?4y2?4x?8y?10?0，(x?)2?(y?1)2??不表示
24圆．
【例4】【2016高考陕西卷】若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y?x对称，则圆C的标准方程为_______． 【答案】x2?(y?1)2?1
【解析】因为圆心与点(1,0)关于直线y?x对称，所以圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为：x2?(y?1)2?1．
【例5】【2015高考北京卷】圆心为?1,1?且过原点的圆的方程是 （ ） A．?x?1???y?1??1 B．?x?1???y?1??1 C．?x?1???y?1??2 D．?x?1???y?1??2 【答案】D
【解析】由题意可得圆的半径为r?222222222，则圆的标准方程为?x?1?2??y?1??2，故选D．
2【例6】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx?y?2m?1?0(m?R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________． 【答案】(x?1)2?y2?2 【解析】由题意得：圆的半径|m?1|(m?1)22m2|m|??1??1??2，当且仅当2222m?1m?1m?1m?1m?1时取等号，所以半径最大为r?2，故所求的圆的方程为(x?1)2?y2?2．
III．理论基础·解题原理
考点一 圆的标准方程
1．标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2． 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2． 2．点与圆的位置关系：
（1）设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
①点在圆内?d?r；②点在圆上?d?r；③．点在圆外?d?r； （2）点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系： ①当(x0?a)2?(y0?b)2?r2，点在圆外； ②当(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上； ③当(x0?a)2?(y0?b)2?r2，点在圆内． 考点二 圆的一般方程
一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0．
①当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为(?②当D?E?4F?0时，表示一个点(?2222222DE1,?)，半径为r?D2?E2?4F； 222DE,?)； 22③当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形．
注：方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且
D2?E2?4AF?0．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题可单独命题在选择题与填空题中出现，也可以出现在解答题的第（1）题中．主要题型：（1）根据条件求圆的方程，难度中等；（2）根据圆的方程确定圆心与半径，难度较易．
【技能方法】
（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心(a,b)和半径r；
（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得a,b,r或D,E,F．
（3）利用待定系数法时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般式．
【易错指导】