发布时间 : 星期四 文章1-例题和习题 - 图文更新完毕开始阅读
由于D2?aD1?[(a?b)2?ab]?a(a?b)?b2，因此， 行列式D相当于把原行列式中的a和b互换. 求解思路：若能找出一个递推公式，则利用 D=D可得出另一个递推公式(即把第一个递推公式中的a,b互换)，再联立求解. 解 将行列式的最后一列写成如下形式的两数之和，并进行拆分 TTD n ?aDn?1?bn 将上式中的 n 分别用 n, n-1, n-2,…, 2 代替，给出n-1个等式，然后对各个等式分别乘1, a, a, ..., a2n-2，得 D n ?aDn?1?bnaD n?1 ?a2Dn?2?abn?1a2D n?2 ?a3Dn?3?a2bn?2 ?????????an?2D 2 ?an?1D1?an?2b2将以上等式两端相加，得 x1bax2aa??a?0a?0a?0?Dn?bbx3?????bx1b?bbax2bba ?a?(xn?a)?ax1aa????000? D n ?an?1D1?bn?abn?1?a2bn?2???an?2b2 把 D1=a+b 代入上式，移项，得 D n?bn?abn?1?a2bn?2???an?2b2?an?1b?an ?(n?1)an (若a?b)???an?1?bn?1 (若a?b)??a?bbx2aaa?bbx3????????bbbbbb?aa?x3??(xn?a)其中，第二个行列式按最后一列展开，得 (xn?a)?Dn?1. 第一个行列式 [练习17] 用递推法证明以下n阶行列式的结论： 1?a1a2?11?a2a3① ?11?a3?x1bbax2ba?aa?x3?ab提取公因子 a?ba 对最后一列x1ax2ba?111 a?x3??????bbb?a?????bbb?1a?ba?b?x2?ba?b?x3?b??a?ba?b11 ??an?11?an?1?a1?a1a2???(?1)a1a2?an nx1?b a?(i?1,2,...,n)ci?bcnn?1a?b1 ?a??(xi?b) ??i?1xn?1?b1x?a1?1a2x?1② a3???ana1?b1a2b21③ b3?bnx?1x1?xn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an
于是，递推公式如下， Dn?(xn?a)Dn?1?a??(xi?b) i?1n?1Dn的转置行列式相当于把Dn的a和b互换了位置，因此 a3?an1?1nTDn?(xn?b)Dn?1?b??(xi?a) i?1n?1?(a1?b1?a1b1)??aibi
i?1由于a?b，且Dn =Dn，联立上面的两个递推公式，可解得 a?(xi?b)?b?(xi?a)Dn?i?1i?1nnT[提示] 这三个行列式按最后一行展开，可得递推公式如下：
①Dn?(1?an)Dn?1?anDn?2 ? Dn?Dn?1?(?1)na1a2?an ②Dn?xDn?1?an ③Dn?Dn?1?anbn
[练习18] 试用递推法计算“例12-14”中的n阶行列式.
x1b例25 设a?b，计算n阶(n?2)行列式b?baax2abx3??bb?????aaa ?xna?b [注] a=b的情形参见例16.
xx?yx?yx?yxx?y[练习19] 计算n阶行列式 x?yx?yx???x?yx?yx?y?x?y?x?y?x?y (n?2) ???xn-1
[提示] 方法⑴：采用例25的方法，可得Dn=-yDn-1+(x+y)yDn=yDn-1+(x-y)(-y)
n-1
和
；
方法⑵：先“r1-r2”，“c1-c2”，然后按第一行展开，再按第一列展开，可得Dn?y2Dn?2.
[答案] n为偶数时, Dn=y; n为奇数时, Dn=xy
n
n-1
[分析] 该行列式的特点是主对角线上面都是a，下面都是b，其转置.
⑻ 归纳法
如果得出的递推公式难以计算，可考虑通过n=1,2,3?的低阶行列式去猜想一般结果，然后结合递推公式用归纳法证明猜想成立. 如果行列式已告诉结果，而要证明与自然数n有关的结论时，也可考虑用数学归纳法证明.
cos?112cos?1例26 计算Dn? 12cos????112cos?解 按如下方式添加一行一列，构成与Dn相等的n+1阶行列式， 10Dn?0?02x1?a1a1a2a1a2??ana1ana2an(n+1阶) ?a2a1?ana12x2?a2???ana22?xn?an 将第1行乘以－a1加到第2行，乘以－a2加到第3行，?.，乘以－an加到第n+1行，即 1Dn?1 ?a2(i?2,3,...,n?1)??anri?ai?1r1?a1a1a2?anx1x2?xn(爪形) 解 将行列式按最后一行展开后，可得递推公式 Dn?2cos??Dn?1?Dn?2 an/xn 并加至第1列，即 由于D1?cos?，D2?cos?1?2cos2??1?cos2? 12cos?由于x1x2?xn?0，将第2, 3, …, (n+1)列分别乘以a1/x1, a2/x2, …, 于是，猜想Dn?cosn? (*) 用归纳法证明猜想： 已知(*)式对n=1,2成立. 假设结论对n-1, n-2阶行列式成立，即 Dn?1?cos(n?1)?，Dn?2?cos(n?2)? Dn?1 c1?ai?1cixi?1 ai21??i?1xina1a2?anx1x2?xnn2?n?a??1??i???xi ???i?1xi?i?1(i?2,3,...,n?1)代入递推公式，得 Dn?2cos??Dn?1?Dn?2 ?2cos??cos(n?1)??cos(n?2)???cosn??cos(n?2)???cos(n?2)?x1?a1b1x1?a1b2x?a2b1x2?a2b2例28 计算n阶行列式 2??xn?anb1xn?anb2?x1?a1bn?x2?a2bn (n?2) ???xn?anbn?cosn? 故结论对一切自然数n成立。 [注] 本例中递推公式为三项的递推公式. 如果是两项递推公式，则归纳假设时只需假设结论对n-1成立. [练习20] 设a?b, 用数学归纳法证明：
xaa?abxa?ab(x?a)n?a(x?b)n Dn? bbx?a ?b?a?????bbb?x解 按如下方式添加一行一列，构成与Dn相等的n+1阶行列式， 1x10x1?a1b10x1?a1b2??0x1?a1bnDn?x2x2?a2b1??xnxn?anb1x2?a2b2?x2?a2bn(n+1阶) ???xn?anb2?xn?anbn1?1a1b1?1??1 x2a2b1a2b2?a2bn (i?2,3,...,n?1)?????xnanb1anb2?anbn当n?3时，将上面的n+1阶行列式按第一行展开，则每个相应的余子式都至少有两列元素成比例，从而为0. ci?c1x1a1b2?a1bn[提示] 采用例25的方法，得递推公式Dn?(x?a)Dn?1?a(x?b)n?1
⑼ 加边法
加边法是一种升阶计算的方法：对行列式添加一行一列，构成与Dn相等的n+1阶行列式. 通常，所加的行(列)为 1, 0, …, 0，而所加的列(行)则根据具体情况而定.
2x1?a1当n=2时，Dn?x1?a1b1x2?a2b1x1?a1b2x2?a2b2 ?x1x2a1b2ab?11a2b2a2b1x1?(a1x2?a2x1)(b1?b2) x2aa例27 计算Dn?21?ana12x2?a2???a1a2?a1an [练习21] 用加边法计算“例20”和“例21”中的行列式. a2an. (x1x2?xn?0)
?⑽ 利用范德蒙德行列式法
范德蒙德行列式是重要的特殊行列式，要善于识别其变式，得出展开结果.
ana22?xn?an[分析] 若忽略 xi，则每行(列)元素都是a1, a2, …, an的倍数. 可通过在左上角添加一行一列：行(列)为“1, a1, a2, …, an”，列(行)是“1, 0, …, 0”，从而构成与Dn相等的 n+1 阶行列式，再加以化简. 例29 计算 11111?cos?11?cos?21?cos?31?cos?4 222cos?1?cos?1cos?2?cos?2cos?3?cos?3cos?4?cos2?4cos2?1?cos3?1cos2?2?cos3?2cos2?3?cos3?3cos2?4?cos3?412x112x2???????12xn1yy2? yn?2yn?1ynx1x2xnVn?1???n?2x2n?1x2nx2?n?2x2n?1xnnxn[分析] 从第2行开始，每行减去前行，即得范德蒙德行列式. 解 r2?r11111r3?r2cos?cos?2cos?3cos?4Dn 21 ??(cos?i?cos?j) 222r4?r1cos?1cos?2cos?3cos?41?j?i?43333cos?1cos?2cos?3cos?4n?2x1n?1x1nx1将Vn+1按最后一列展开，得 Vn?1?(?1)n?2M1,n?1???(?1)2n?1yn?1Mn,n?1?(?1)2n?2ynMn?1,n?1 [展开式中的余子式都不含y，其中Mn,n?1就是题设行列式Dn ] 将展开式看作是y的n次多项式，其中yn-1的系数是 ?Mn,n?1??Dn ??????????? (*) 12例30 计算 Dn?3?n12232?n2?????12n3n. ?nn又，根据范德蒙德行列式的结论，有 Vn?1?(y?x1)(y?x2)?(y?xn)?1?j?i?n?(xi?xj) n上式中yn-1的系数是 [分析] 对各第1,2,?,n行分别提取公因子1, 2, 3, … ,n，即可得范德蒙德行列式的转置行列式. ?(x1?x2???xn)?1?j?i?n?(xi?xj) ??? (**) 1?j?i?nn11各行提取公因子解 Dn n! ?1?1123?n?????1n?1n?1 结合(*)和(**)两式，得 Dn?(x1?x2???xn)??(xi?xj) n23n?1 ?nn?1⑾ 析因子法
如果行列式中某些元素是x的多项式，则行列式可作为一个多项式f(x).
若通过某些变换，求出了多项式f(x)的全部互素线性因式(一次因式)，则这些因式的乘积g(x)与行列式多项式f(x)只相差常数乘因子k，于是，根据多项式恒等的定义，通过比较g(x)和f(x)的某一项系数，可进一步求出k.
?n! ?[(2?1)(3?1)(4?1)?(n?1)]?[(3?2)(4?2)?(n?2)]???[n?(n?1)] ??i! i?1n [练习22] 已知a1a2?anan?1?0，计算如下的n+1阶行列式：
na1na2n?1a1b1n?1a2b2n?22a1b1n?22a2b21例32 求f(x)? 12221335 的展开式 ?Dn?1????nn?1n?22an?1an?1bn?1an?1bn?1?
???n?1n?an?1bnbn?1n?1a1b1n?1a2b2nb1nb212?x223319?x2nnn[提示] 对各第1, 2, …, n+1行分别提取a1,a2,?,an?1[分析] 根据行列式的定义，容易看出f(x)是x的4次多项式，设f(x)的4个根为a,b,c,d，则f(x)可等价表示为k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中k可利用f(x)中x的的系数来确定. 解 f(x)是x的4次多项式. 当x=?1时，行列式的第1,2行相同，有f(x)=0；当x=?2时，行列式的3,4行相同，亦得f(x)=0. 即，f(x)的四个根为x=?1,?2. 4
?bbj???n?1??[答案] ??ain? ???i?????ajbi?aibj ???aaj???i?1????1?j?i?n?1?1?j?i?n?1?i??
例31 证明Dn?1x1x12?x1n?2x1n1x22x2?n?2x2nx21x32x3?n?2x3nx3???1xn2xn设 f(x)=k(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) (*) ??n?2?xn?nxn?(x1?x2???xn)1?j?i?n?(xi?xj) (n?2)n行列式中含x的项为 (-1)t(1234)4a11a22a33a44+(-1)2222t(3214)a13a22a31a44 2= (2-x)(9-x)-2?(2-x)?2?(9-x) =-3(2-x)(9-x) 2[分析] 通过添加一行一列，使其成为n+1阶的范德蒙德行列式Vn+1，再讨论Vn+1与Dn之间的关系. 证 添加一行一列，使其成为n+1阶范德蒙德行列式Vn+1， 故f(x)中x的系数是-3，于是，(*)式中k=-3，得 f(x)=-3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) 4[练习23] 用析因子法计算Dn?1?xa1a1xa1a2a2?an?1ana2?an?1anx?an?1an?x?anx123?n12[练习25] 设Dn?13?1?n????a1a2a3?a1a2
, 求所有元素的代数余子式之和.
a3?an?1[提示] 第一列元素的代数余子式之和就是Dn，而其它各列元素的代数余子式之和皆为0. [答案] n-2
[提示] Dn+1是x的n+1次多项式，其n+1个根分别是
a1, a2, ?, an, ??ai,
i?1nn??n[答案] ?x??ai???(x?ai) ??i?1?i?1?1234522211例35已知D?31245?27, 求: 1112243150①A41?A42?A43; ②A44?A45. 解 将行列式按第四行展开，有 (A41?A42?A43)?2(A44?A45)?D?27 [注] 本题也可以利用行列式各行元素之和相等的特点进行计算.
5 和代数余子式有关的计算
2x1011?11例33 设D?1?11?1?1, 求D中x的一次项的系数. 又，第二行元素和第四行对应元素代数余子式的乘积之和为0，即 2(A41?A42?A43)?(A44?A45)?0 1?1?1[分析] 注意到行列式式中只有(1,2)元为x，于是，将行列式按第一行展开：D?2A11?xA12?0?A14，得x的系数为A12. 解 将行列式按第一行展开，得x的系数为 结合以上两式，得 A41?A42?A43??9, A44?A45?18 11?11A12?(?1)1?2M12??1?1?1?4 1?1 43[练习26] 设行列式D?324423354135614241152, 求: 232例34 设D?120426112, 求第四行元素的代数余子式之和. [答案] ① 0; ② 0
6 克拉默法则
①A21?A22?A23; ②A24?A25.
3?415?32[分析] 将第四行元素替换为1,1,1,1，这不会改变第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44. 再将替换所得的行列式按第四行展开，即得A41?A42?A43?A44. 21413?421??25 12?321111⑴ 利用克拉默法则求线性方程组的解
克拉默法则的适用条件是：①线性方程组的方程个数与未知数个数相等；②系数行列式不等于零.
为了避免在计算中出现分数，可对某些方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解.
解 A41?A42?A43?A44 [练习24] 对“例34”中的行列式，求: ?4M12?2M22?3M32?6M42 [提示] 将余子式变换成代数余子式，可看出所求的和式就是第三列元素与第二列对应元素的代数余子式乘积之和，或者，通过替换行列式的第二列元素进行计算.
[答案] ?4M12?2M22?3M32?6M42?4A12?2A22?3A32?6A42?0
? x2?3x3?4x4??5??x ?2x3?3x4??4例36 用克拉默法则求解:?1
?3x1?2x2 ?5x4?12??4x1?3x2?5x3 ?501?3410?23?24?0，方程组有唯一解. 解 系数行列式D?320?543?50用常数项分别替换系数行列式的各列，得
?51?340?5?34?40?231?4?23D1??24； D2??48；
1220?53120?553?5045?5001?5401?3?510?4310?2?4D3??24； D4???24
3212?532012435043?55ax1?by1?c?0, ax2?by2?c?0 设(x,y)是直线上任意一点，则有 于是，方程组的解为 x1?D1DDD?1, x2?2?2, x3?3?1, x4?4??1 DDDD?ax?by?c?0??ax1?by1?c?0 ?ax?by?c?02?2上式可看作是以a,b,c为未知量的齐次线性方程组，由于a,b不全为零(即方程组有非零解)，于是系数行列式
2n?1?x1?a1x2?a1x3???a1xn?1?2n?1x3???a2xn?1?x?ax?a2[练习27] 解线性方程组?122,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??x?ax?a2x???an?1x?1n3nn?1n2xx1x2 y1y11?0 即 (y1?y2)x?(x1?x2)y?(x1y2?x2y1)?0 y21[练习 29] 求过点(1,1,2), (3,-2,0), (0,5,-5)三点的平面方程. [提示] 设平面方程为ax?by?cz?d?0，其中a,b,c不全为零 xy11[答案]
3?205z2011?29x?16y?5z?55?0 1其中ai?aj (i?j, i,j?1,2,?,n)
[提示] 系数行列式是范德蒙德行列式的转置行列式. [答案] x1 =1, x2=x3=?=xn=0
⑵ 已知线性方程组以及解的情况，求方程组的系数的条件 ??x1?x2?x3?1?例37 当?取何值时，方程组?x1??x2?x3??有唯一解？ ?x?x??x??23?12?51
例40 设f(x)?a0?a1x?a2x2???anxn有n+1个互不相同的根,用克拉默法则证明: f(x)是零多项式 证 n=0时命题显然成立. 下面证明n?1时命题成立。 设x1, x2, ?, xn+1是f(x)的n+1个不同的根，带入f(x)=0，得 解 非齐次线性方程组有唯一解 ? 系数行列式D?0，即 ?11D?1?1?(1??)2(2??)?0 11??2 ???1， ?kx?z?0?例38 当k取何值时, 方程组?2x?ky?z?0只有零解？ ?kx?2y?z?0??a0?a1x1?a2x12???anx1n?0?2n???anx2?0?a0?a1x2?a2x2 ???????????????a?ax?ax2???axn?0nn?1?01n?12n?1上式可看作是以a0 , a1 , a2 , …, an为未知量的齐次线性方程组(含n+1个方程，n+1个未知量)，其系数行列式为 11D?1?1x1x2x3?2x12x22x3nx1nx2nx3????1转置2x112x21?1解 齐次线性方程组只有零解 ? 系数行列式D?0，即 kD?2k?k?2 0k11?2(k?2)?0 ??22x3?xn?1， ?????nx1nx2nnx3?xn?1x1x2x3?xn?1?212nxn?1xn?1?xn?1?1?j?i?n?1?(xi?xj) ?x1??x3?0??2x?x?0练习28 当?取何值时, 齐次线性方程组?14有非零解？
??x1?x2?0??x3?2x4?0[提示] 齐次线性方程组有非零解 ? 系数行列式D=0 [答案] ??1/4
⑶ 克拉默法则的应用
例39 求平面上过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程. 解 根据解析几何，直线方程的一般形式为 ax?by?c?0，其中a,b不全为零。 由于xi (i=1,2,…,n+1)互不相同，因此D?0，根据克拉默法则，齐次线性方程组只有零解，即a0 = a1 = a2 = … = an =0. [练习30] 证明: 对平面上的n个横坐标互不相同的点(xi, yi) (1?i?n)， 必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式f(x)通过此n个点.
[提示] 设f(x)?a0?a1x?a2x2???an?1xn?1，然后证明以a0 , a1 , a2 , …, an-1为未知量的齐次线性方程组
2n?1?a0?a1x1?a2x1???an?1x1?y1?2n?1???an?1x2?y2?a0?a1x2?a2x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??a?ax?ax2???axn?1?y2nn?1nn?01n由于(x1,y1)和(x2,y2)在直线上，故有 有唯一解.