发布时间 : 星期三 文章复旦大学金融市场学题库更新完毕开始阅读
由于max(D-V,0)是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。因此该债权可以分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。 （3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。第一种办法对股东和债权人都有利。第二种办法则有利于股东而不利于债权人。进行风险投资显然属于第二种办法。
5．2．3 期权组合的盈亏分布
6.设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、、X3的欧式看涨期权的价格，其中X3》X2》X1且X3-X2=X2-X1，所有期权的到期日相同，请证明： C2《=0.5(C1+C3)
考虑一个组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头、一份协议价格为X3的欧式看涨期权多头和2份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组合。在4种不同的状态下，该组合的价值分别为：
当ST?X1时，组合价值＝0；
当X1
当X2
以上分析表明，在期权到期时，该组合价值一定大于等于0，那么在无套利条件下，
该组合现在的价值也应大于等于0，这意味着： c1+c3-2c2?0, 或者说： c2?0.5(c1+c3).
7.请用看涨期权看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本（条件：X3-X2=X2-X1）
证令c1、c2、c3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看涨期权的价格，p1、p2、p3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看跌期权的价格。根据看涨期权看跌期权平价： c1+X1e-rT=p1+S c2+X2e-rT=p2+S c3+X3e-rT=p3+S 因此，
c1+c3-2c2+(X1+X3-2X2)e-rT=p1+p3-2p2 由于X2-X1=X3-X2,因此，X1+X3-2X2＝0。这样， c1+c3-2c2=p1+p3-2p2证毕。
8.箱式差价组合（Box Spread）由看涨期权的牛市差价组合和看跌期权的熊市差价组合组成。两个差价组合的协议价格都是X1和X2。所有期权的期限都一样。请分析该箱型差价组合的结果。
看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为： 期末股价范围 ST?X2 X1 看涨期权的牛市差价组合 X2-X1 ST－X1 看跌期权的熊市差价组合 0 X2-ST 总结果 X2-X1 X2-X1 ST?X1 0 X2-X1 X2-X1 从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。 5．2．4 期权定价的理论基础 9.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：（1）第二天收盘时的预期价格，（2）第二天收盘时股价的标准差，（3）在置信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。 由于 ?S~?(??t,??t) S在本题中，S＝50，?＝0.16,?=0.30,?t=1/365=0.00274.因此， ?S/50??(0.16?0.00274,0.3?0.002740.5) =?(0.0004,0.0157) ?S??(0.022,0.785) 因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96?0.785至50.022+1.96?0.785,即48.48元至51.56元之间。 10.变量X1和X2 遵循普通布朗运动，漂移率分别为m1和m2,方差率分别为xgm1和 xgm2。请问在下列两种情况下，X1+X2 分别遵循什么样的过程？ （1）在任何短时间间隔中X1和X2 的变动都不相关； （2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为（ ）（1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为： （a1??1T,?1T) ? X2的概率分布为： ?（a2??2T,?2T) 根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为： 2?（a1??1T?a2??2T,?12T??2T)??（a1?a2?(?1??2)T,(???)T) 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?1??2的普通布朗运动。 （2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为： ?[(?1??2)?t,(?1??2?2??1?2)?t] 如果?1、?2、?1、?2和?都是常数，则X1和X2在较长时间间 隔T之内的变化的概率分布为： ?[(?1??2)T,(?1??2?2??1?2)T] 2222222122 这表明，X1和X2遵循漂移率为?1??2，方差率为?1??2+ 2??1?2的普通布朗运动。 11.假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。 在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25, 因此， 22d1?ln(50/50)?(0.1?0.09/2)?0.25?0.24170.3?0.25 1 2 这样，欧式看跌期权价格为， d?d?0.3?0.25?0.0917p?50N(?0.0917)e?0.1?0.25?50N(?0.2417) ?50?0.4634e?0.1?0.25?50?0.4045?2.37 5．2．5 布莱克一舒尔斯期权定价模型 12.请证明布莱克-舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。 可见，p?S?c?Xe?rT，看涨期权和看跌根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有： ?rT p?S?XeN(?d2)?SN(?d1)?S 由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为： p?S?Xe?rTN(?d2)?SN(d1) 同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有： c?Xec?Xe期权平价公式成立。 ?rT?SN(d1)?Xe?rTN(d2)?Xe?Xe?rTN(?d2)?SN(d1)?rT 由于N（d2)?1?N(?d2),上式变为：?rT 13.某股票市价为70元，年波动率为32%，无风险利率为10%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权的价格。D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65 X[1?e?r(T?t2)]?65(1?e?0.1?0.1667)?1.07X[1?e?r(t2?t1)]?65(1?e?0.1?0.25)?1.60 可见， D2?X[1?e?r(T?t2)]D1?X[1?e?r(t2?t1)] 显然，该美式期权是不应提早执行的。 红利的现值为： e?0.25?0.1?e?0.50?0.1?1.9265 该期权可以用欧式期权定价公式定价： S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32 ln(68.0735/65)?(0.1?0.322/2)?0.6667d1??0.5626 0.32?0.6667d2?d1?0.32?0.6667?0.3013 N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184 因此，看涨期权价格为： 68.0735?0.7131?65?e?0.1?0.6667?0.6184?10.94 14.某股票目前价格为40元，假设该股票一个月后的价格要么为42元、要么为38元。连续复利无风险年利率为8%。请问一个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38元，该组合价值就等于38Δ。令： 42Δ-3=38Δ 得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票的股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于： 28.5e-0.08 这意味着： -c+40Δ=28.31 c=40×0.75-28.31=1.69元。 5．2．6 二叉树期权定价模型 15.某种不支付红利股票市价为40元，年波动率为30%，无风险利率为5%，请问间隔时间为一个月的二叉树模型（可以使用本书光盘中所附软件）计算该股票协议价格为40元、有效期3个月的美式和欧式看跌期权价格。 在本题中，S=40，X=40，r=0.05,σ=0.30,T=0.25, Δt=0.0833。用本书光盘所附软件可以求出如下结果。 ×0.08333 =28.31元。