发布时间 : 星期日 文章(完整word)2018届高三年级数学二轮复习_数列专题与答案更新完毕开始阅读
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设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2，故an＝a1qn1＝2n1.
a1（1－qn）nan＋1Sn＋1－Sn11(2)Sn＝＝2－1，又bn＝＝＝－，
SnSn＋11－qSnSn＋1SnSn＋1
11?111??11?11
－＋－＋…＋?S－所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝?＝－＝1－. ＋?S1S2??S2S3??nSn＋1?S1Sn＋12n1－1
命题角度三 错位相减法求和
典例3】(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q＞0.
2??（1＋d）＋（1＋2q）＝2q，??2q－3d＝2，
由已知，有?4 ?4消去d，整理得q4－2q2－8＝0.
???q－3（1＋d）＝7，?q－3d＝10，
又因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2.
－
所以数列{an}的通项公式为an＝2n1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.
－
(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n1，设{cn}的前n项和为Sn，则
－－
Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n2＋(2n－1)×2n1，
－
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n1＋(2n－1)×2n， 上述两式相减，得
＋
－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3， 所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.
[针对训练]
1．【解】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
n2＋n（n－1）2＋（n－1）
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
22
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
2（1－22n）2n＋1A＝＝2－2，
1－2
＋
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n1＋n－2. 2．
11
【解】 (1)设数列{an}的公差为d.令n＝1，得＝，
a1a23
112
所以a1a2＝3.令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.
a1a2a2a35
解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.
－
(2)由(1)知bn＝2n·22n1＝n·4n， 所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，
＋
所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n1，
4（1－4n）1－3nn＋14＋nn＋112两式相减，得－3Tn＝4＋4＋…＋4－n·4＝－n·4n1＝×4－.
331－4
＋
3n－1n＋144＋（3n－1）4n1
所以Tn＝×4＋＝
999
数列的综合应用（师生共研型） .
222【典例4】 【解】 (1)由Sn－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.
n＋1
(2)证明：由于an＝2n，bn＝，
（n＋2）2a2n
1n＋11?1?. －则bn＝2＝222n（n＋2）?4n（n＋2）16?
－－
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11111111111×[1－2＋2－2＋2－2＋…＋－＋2－]＝×2221632435n16（n－1）（n＋1）（n＋2）11?1＋12－?＜1×?1＋1?＝5. －?2（n＋1）2（n＋2）2?16?22?64
2an＋1an111
变式：【解】 (1)证明：∵an＋1＝，∴＝，化简得＝2＋，
anan2an＋1an＋1an＋1
111即－＝2，故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．
anan＋1an
n（1＋2n－1）21
(2)由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n.
an2
11111111111111＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＞＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－S1S2Sn12n1×22×3223nn＋1n（n＋1）1n＝. n＋1n＋1
所以Tn＝
【巩 固 训 练 】
一、选择题
5
1．【解析】 由a3，a4，a8成等比数列可得：(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，即3a1＋5d＝0，所以a1＝－d，
3
（a1＋a4）×42
所以a1d＜0.又dS4＝d＝2(2a1＋3d)d＝－d2＜0.故选B.
23
－
2．【解析】 由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴an＋1＝(a1＋1)·2n1＝2n，∴an＝2n－1.【答案】 A
111
3．【解析】 因为a1＝，又an＋1＝＋an－a2n，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝2221??2，n＝2k－1（k∈N*），13 0213 023?故数列的前2 015项的和等于S2 015＝1 007×(1＋)＋1＝＋1＝【.答案】
222
??1，n＝2k（k∈N*），A
2
4．【解析】 设bn＝nSn＋(n＋2)an，有b1＝4，b2＝8，则bn＝4n，即bn＝nSn＋(n＋2)an＝4n，Sn＋(1＋)an
n
＝4.
22
当n≥2时，Sn－Sn－1＋(1＋)an－(1＋)a－＝0，
nn－1n1
2（n＋1）n＋1anan－1
所以an＝an－1，即2·＝，
nnn－1n－1an1an?1?n－1n
所以{}是以为公比，1为首项的等比数列，所以＝?2?，an＝n－1.故选A.【答案】 A
n2n2
2anan＋1＋11
5．【解析】 由题意可得，a2?(2a＋aa＋1)·(2a－aa－1)＝0?a＝?a＋＋＋＋＋＋n＋1＝n1nn1n1nn1n12
4－an2－ann1
an－111－1＝?＝－1，
2－anan＋1－1an－1
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11nan1a2a1001111＝－(n－1)＝－n－1?an＝?2＝，∴a1＋2＋…＋2＝1－＋－＋…＋
2100223100an－11n＋1nn（n＋1）
－121100
－＝.【答案】 C 101101
二、填空题
1111
6．【解析】 将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再
221－an1－an
1
将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1
1－an
1＝a7＝.
2
2n＋12n2n222n
2
7．【解析】 设数列为{an}，则an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)()－n(n＋4)()＝()[(n＋6n＋5)－n－4n]＝n＋1
33333
(10－n2)，
所以当n≤3时，an＋1＞an；当n≥4时，an＋1＜an.
因此，a1＜a2＜a3＜a4，a4＞a5＞a6＞…，故a4最大，所以k＝4.
8【解析】 由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3
11n（n＋1）1211111
＋…＋n＝，则＝＝2?n－n＋1?，故数列{}前10项的和S10＝2(1－＋－＋…＋
2ann（n＋1）?an22310?
112020－)＝2(1－)＝.【答案】 11111111
?p2－4q＞0，∴
8．【解析】 因为a，b为函数
f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同零点，所以
?
?a＋b＝p，所以a＞0，??ab＝q.
b＞0，所以数列a，－2，b不可能成等差数列，数列a，b，－2不可能成等比数列，数列－2，a，b不可能
成等比数列．不妨取a＞b，则只需研究数列a，b，－2成等差数列，数列a，－2，b成等比数列，则有????a－2＝2b，?a＝4，??a＝－2，?p＝5，?解得?或?(舍去)，所以?所以p＋q＝9.【答案】 9 ?ab＝4，?b＝1?b＝－2?q＝4，????三、解答题
9．【解】 (1)由题意有， ??10a1＋45d＝100，??2a1＋9d＝20，?即? ?a1d＝2，?a1d＝2，??
1
an＝（2n＋79），a1＝9，???9?a1＝1，??an＝2n－1，
解得?或?2故?或 n－1n－1
2??d＝2，b＝2d＝.??n??.??9bn＝9·?9????
2n－1－
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n1，故cn＝n－1，于是
2
2n－13579
Tn＝1＋＋2＋3＋4＋…＋n－1，①
22222
2n－1113579
Tn＝＋2＋3＋4＋5＋…＋n.② 2222222①－②可得
2n－12n＋32n＋31111
Tn＝2＋＋2＋…＋n－2－n＝3－n，故Tn＝6－n－1. 2222222
2×1
10．【解】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
2
4×3
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
2
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.
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114n4n－－
＝(－1)n1＝(－1)n1?2n－1＋2n＋1?.
??anan＋1（2n－1）（2n＋1）
11??11?11112n＋＋1＋?－?＋?＋…＋?当n为偶数时，Tn＝?－＝1－＝. ?3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1?2n＋12n＋111??11?1112n＋21＋＋1＋?－?＋?＋…－?当n为奇数时，Tn＝?＋＝1＋＝. ?3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1?2n＋12n＋1
2n＋2
，n为奇数，－
2n＋12n＋1＋（－1）n1
所以Tn＝(或Tn＝) 2n＋12n
，n为偶数.(2)bn＝(－1)n
－1
?????2n＋1
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