发布时间 : 星期二 文章样条插值及应用深入研究更新完毕开始阅读
学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩：
?h0???nh?h0n?1??hn?1??n?1??n?h0?hn?1??3(hn?1f[x0,x1]?h0f[xn?1,xn])?dn?h?h0n?1? （2.71）
从而由式（2.62）及式（2.70）可组成求mi(i?1,2,?,n)的方程组有如下形式
?2???2??????n?12??2??n?1?d1???m??d???2??2???????????????2?n?1??mn?1??dn?1??n2????mn????dn?? （2.72）
?1??m1?由上述三种边界条件得到的方程组（2.64）、（2.67）、（2.72）的每一个方程组中最多出现三个相邻的转角mi?1,mi,mi?1，故称这些方程组为三转角方程组．把这种用转角
mi作为待定参数来确定样条插值函数的方法称为三转角插值法。 2.1.1.4 B—样条插值
先对划分?加入新点扩展为x?m??x?1?a?x0?x1??xn?b0?x1?1??xn?m
m?(t;x)?(t?x)?，x视为参数，?m(t;x)是t的函数，令m当t?x?m,,x?1,x0,x1,,xn,x1?1,,xn?m，?m(t0;x)?m…，(t?m;x),…，?m(tn+m;x)都是关于划分?的样条函数时，?m(t?m;x),…，?m(t?1;x)记为
?m(t)??m(t;x) （2.73）
关于
t?xj,xj?1,j
,xj?m?1所作的m?1阶差商记为
mm??m[xj,xj?1,,xj?m?1](xj?m?1?xj)?m(t)。
?x?是节点序列，令?(t)?(t?x)设
m?1阶差商
，函数关于
t?xj,xj?1,,xj?m?1的
Bj,m(x)?(xj?m?1?xj)?m(t)[xj,xj?1,称为第j个m次B-样条函数。
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,xj?m?1]，j??m,?m?1，…，n-1
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利用差商的性质其中
?j,m(t)?(t?xj)(t?xj?1)(t?xj?m?1)j?m?1，得
Bj,m(x)?(xj?m?1?xj)?k?j(xk?x)m?'?m,j(xk) （2.74）
由式所以
Bj,m(x)?(xj?m?1?xj)?m(t)[xj,xj?1,,xj?m?1]定义的n?m个样条函数是线性无关的，
Bj,m(x)（m,?）组成S的一组基，这样对于定义于区间[a,b]，关于划分?的m次样条函数
Bj,m(x)?S（m,?）都可以表示为
S(x)?j??m?aBjn?1j,m(x) （2.75）
n?1这样，求划分?上的样条函数S(x)的问题，就归结为求表达式数
S(x)?j??m?aBjj,m(x)中的系
aj的问题，求系数
aj一般归结为解线性方程组。
2.1.2经典的《样条插值及应用》方法是什么方法？
经典的《样条插值及应用》方法是三次样条函数插值：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力。因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法——样条插值法。插值法是数值逼近的重要方法之一 它是根据给定的自变量值和函数值求取未知函数的近似值。早在一千多年前我国科学家就在研究历法时就用到了线性插值和二次插值。而在实际问题中有许多插值函数的曲线要求具有 较高的光滑性 在整个曲线中 曲线不但不能有拐点而且曲率也不能有突变。因此对于插值函数y?f(x)必须二次连续可微且不变号这就需要用到三次样条插值。三次样条插值法，因为它既满足一般实际问题的要求，而且建立过程也不太复杂在插值区间上做高次插值多项式，可以保证曲线的光滑性， 它具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，当插值节点逐渐加密时，不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其函数也收敛于函数的导数，正因为如此，三次样条插值函数在实际中得到广泛的应用。
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二．《样条插值及应用》方法哪个好？（方法比较）？
2.2.1《样条插值及应用》的优缺点分析 （1）线性样条插值
优点：线性样条插值是最简单的样条插值
缺点：总体光滑性较差，线性样条曲线在节点处的斜率是不连续的。 （2）二次样条插值
优点：二次样条函数在连接点处具有一阶导数连续, 计算量明显比三次样条插值函数小。 缺点：二次插值算法在低采样频率下误差较大。 （3）三次样条插值
优点：三次样条插值，它具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，理论上应用上都有重要的意义，在计算机图形学中有重要的应用。对于三次样条插值函数来说，当插值节点逐渐加密时，可以证明：不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其函数也收敛于函数的导数，这一性质是三次样条插值函数较普通插值函数的一个优点。
缺点：三次样条函数分别在每个区间上对应一个表达式，这无论是在实际应用中还是理论分析，都很不方便；其次，三次样条插值要利用所有给的点，即使只改变一个结点的函数值也会是整条样条曲线都发生变化；而且三次样条函数对方程的要求较高。。 （4）B-样条插值
优点：总是位于所给点确定的多边形内部，改变一个结点的值只会是一小段曲线发生改变。其系数矩阵有较好稀疏性，插值函数本身甚至其若干阶导数都能收敛到被插值函数及其相应的若干阶导数，插值函数比较稳定等。正是由于B-样条插值函数有这许多良好的性质,因此被广泛应用于生产生活中的诸多领域，并且得到了较好的效果。 2.2.2 最好的方法是？
B-样条插值
由于B样条曲线具有局部性，几何不变性，连续性，对称性，递推性，凸包性和变差缩减性等重要性质，应用B-样条函数作为基函数构造的插值函数有其较多的优点，例如：B样条曲线系数矩阵有较好稀疏性，插值函数本身甚至其若干阶导数都能收敛到被插值函数及其相应的若干阶导数，插值函数比较稳定，总是位于所给点确定的多边形内部，改变一个结点的值只会是一小段曲线发生改变等。如正是由于B-样条插值函数有这许多良好的性质，因此
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被广泛应用于生产生活中的诸多领域，并且得到了较好的效果。
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