发布时间 : 星期三 文章小学 - 奥数 - 数学课本 - 二年级 - 打印版更新完毕开始阅读
华罗庚学校数学课本：二年级
第一讲速算与巧算
1，3，5，7，9 上册
第一讲速算与巧算 第二讲数数与计数（一） 第三讲数数与计数（二） 第四讲认识简单数列 第五讲自然数列趣题 第六讲找规律（一） 第七讲找规律（二） 第八讲找规律（三） 第九讲填图与拆数
第十讲考虑所有可能情况（一） 第十一讲考虑所有可能情况（二）第十二讲仔细审题 第十三讲猜猜凑凑 第十四讲列表尝试法 第十五讲画图凑数法
下册
第一讲机智与顿悟 第二讲数数与计数 第三讲速算与巧算 第四讲数与形相映 第五讲一笔画问题 第六讲七座桥问题 第七讲数字游戏问题（一） 第八讲数字游戏问题（二） 第九讲整数的分拆 第十讲枚举法 第十一讲找规律法 第十二讲逆序推理法 第十三讲画图显示法 第十四讲等量代换法 第十五讲等式加减法 附：第一讲重量的认识 附：第二讲长度的认识 附：第三讲时间的认识（上）附：第四讲时间的认识（下）一、“凑整”先算1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的 和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带 着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑 整先算.
（2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和， 再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以 凑整先算. （2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2 减去.
二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运 算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19
解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算 19-18=1.
（2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
2，4，6，8，10 3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间 数乘以个数，简记成：
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9中间数是5 =45共9个数 （2）计算：1+3+5+7+9 =5×5中间数是5 =25共有5个数 （3）计算：2+4+6+8+10 =6×5中间数是6 =30共有5个数 （4）计算：3+6+9+12+15 =9×5中间数是9 =45共有5个数
（5）计算：4+8+12+16+20 =12×5中间数是12 =60共有5个数
2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数 与末数之和乘以个数的一半，简记成：
（1）计算： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10. （2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17. （3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =（2+20）×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法
（1）计算：23+20+19+22+18+21
解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每 个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1 =120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加 了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再 减去“1”，以此类推.
（2）计算：102+100+99+101+98
解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选 100为基准数，采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100×5+2+0-1+1-2=500
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就
是把有的加数带有符号搬家） 102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100， 个数是5.
习题一
1.计算：（1）18+28+72 （2）87+15+13 （3）43+56+17+24 （4）28+44+39+62+56+21 2.计算：（1）98+67 （2）43+28 （3）75+26 3.计算：（1）82-49+18 （2）82-50+49 （3）41-64+29
4.计算：（1）99+98+97+96+95 （2）9+99+999 5.计算：（1）5+6+7+8+9 （2）5+10+15+20+25+30+35 （3）9+18+27+36+45+54 （4）12+14+16+18+20+22+24+26 6.计算：（1）53+49+51+48+52+50 （2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算：
1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
习题一解答
1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118 （2）87+15+13=（87+13）+15 =100+15=115 （3）43+56+17+24 =（43+17）+（56+24） =60+80=140
（4）28+44+39+62+56+21 =（28+62）+（44+56）+（39+21） =90+100+60=250 2.解：（1）98+67=98+2+65 =100+65=165
（2）43+28=43+7+21=50+21=71 或43+28=41+（2+28）=41+30=71 （3）75+26=75+25+1=100+1=101
3.解：（1）82-49+18=82+18-49
=100-49=51
（2）82-50+49=82-1=81 （减50再加49等于减1） （3）41-64+29=41+29-64 =70-64=6
4.解：（1）99+98+97+96+95 =100×5-1-2-3-4-5 =500-15=485
（每个加数都按100算，再把多加的减去）或 99+98+97+96+95=97×5=485 （2）9+99+999=10+100+1000-3 =1110-3=1107
5.解：（1）5+6+7+8+9 =7×5=35
（2）5+10+15+20+25+30+35 =20×7=140 （3）9+18+27+36+45+54 =（9+54）×3=63×3=189
（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152 6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0 =300+3=303 （2）
87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+ 0-2+1+4 =800+4=804
7.解：方法1：原式=21+21+21+15=78 方法2：原式=21×4-6=84-6=78
方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78
第二讲数数与计数（一）
数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发 现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数 与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大 家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发 挥想像力.
例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方 块？
解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因 为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以： 黑方块是：4×8=32（个） 白方块是：4×8=32（个） 再仔细观察图2－2，从上往下看：
第一行白方块5个，黑方块4个； 第二行白方块4个，黑方块5个； 第三、五、七行同第一行， 第四、六、八行同第二行；
但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总 数比黑方块总数多1个.
白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个） 黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个） 再一种方法是：
每一行的白方块和黑方块共9个. 共有9行，所以，白、黑方块的总数是：
9×9=81（个）.
由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块 是40个.
例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有 个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4） 才能把它补好？
解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边 形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更 清楚了.
例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表 面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问： （1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？ （2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？
（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？ 解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表 面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接 触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没 涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都 写在了它的上面，参看图2－6所示.
（1）3面涂色的小立方体共有1个； （2）4面涂色的小立方体共有4个； （3）5面涂色的小立方体共有3个.
例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色， 然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些 切成的小立方体中，问：］
（1）1面涂成红色的有几个？ （2）2面涂成红色的有几个？ （3）3面涂成红色的有几个？
解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知： （1）上下两层中间的2块只有一面涂色；
（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块； （3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后 检验一下小立体总块数：
2+8+8=18（个）.
习题二
1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙
补好？
2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？ 若能补好，共需几块？
3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不 同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？ 4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的
六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长 为1寸的小正方体.
求：（1）3面涂成红色的有多少块？ （2）2面涂成红色的有多少块？ （3）1面涂成红色的有多少块？ （4）各面都没有涂色的有多少块？ （5）切成的小正方体共有多少块？
5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染 成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.
问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？ （2）有2面被染成蓝色的多少块？ （3）有1面被染成蓝色的多少块？ （4）各面都没有被染色的多少块？ （5）锯成的小正方体木块共有多少块？
6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的 外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆 开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围 成的，你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较 出来）.
习题二解答
1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数 （发挥想像力）：
共1+2+2+1+2+2=10（块）.
如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚 了，如图2－15所示.
2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号 砖1块，也就是共需（如图2－16所示）
1+2=3（块）.
3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行 分类数，再进行统计：
4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4 块和最下层四个角上的4块.
（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那 块共8块和中层四角的4块.
（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的 那块.
（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块. （5）共切成了3×3×3=27（块）. 或是如下计算： 8+12+6+1=27（块）.
5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块； （4）8块；（5）64块.
6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18 中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.
7.解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为 小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫 身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.
第三讲数数与计数（二）
例1数一数，图3－1中共有多少点？
解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：
第一层1个
第二层2个 第三层3个 第四层4个 第五层5个 第六层6个 第七层7个 第八层8个 第九层9个 第十层10个 第十一层9个 第十二层8个 第十三层7个
第十四层6个 第十五层5个 第十六层4个 第十七层3个 第十八层2个 第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） =55+45=100（利用已学过的知识计算）. （2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数
第一层1个 第二层3个 第三层5个 第四层7个 第五层9个
第六层11个 第七层13个 第八层15个 第九层17个 第十层19个
总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的 知识计算）.
（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示 的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为 10×10=100（个）.
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此
我们猜想：
1=1×1 1+2+1=2×2 1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多. 同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就 发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10. 即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此 我们猜想：
1+3=2×2
1+3+5=3×3 1+3+5+7=4×4 1+3+5+7+9=5×5 1+3+5+7+9+11=6×6 1+3+5+7+9+11+13=7×7 1+3+5+7+9+11+13+15=8×8 1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确， 如果正确，我们就又发现了一条规律. 例2数一数，图3－5中有多少条线段？
解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A 点为共同端点的线段有： ABACADAEAF5条. 以B点为共同左端点的线段有： BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有： CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有： DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有： EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
总数5+4+3+2+1=15（条）.
想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有： 总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连 续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现
了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系. ②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大 的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数 线段总条数
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看. 例3数一数，图3－9中共有多少个锐角？
解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都 组成一个锐角.
所以，以OA边为公共边的锐角有：
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE， ∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE， ∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF
共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2 个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个. 锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为： 5+4+3+2+1=15（个）.
想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的 锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）
两条射线1个角（见图3－11）
三条射线2+1个角（见图3－12）
四条射线3+2+1个角（见图3－13）
五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）
六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中 最大的自然数比射线数小1.
②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫 做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关 系是：
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的 自然数等于基本角个数.
③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段 的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表 达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完 全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数 一数这些书共有多少本？
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘 上共有多少个棋孔？
3.数一数，图3－18中有多少条线段？
4.数一数，图3－19中有多少锐角？
5.数一数，图3－20中有多少个三角形？
6.数一数，图3－21中有多少正方形？
习题三解答
1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：