发布时间 : 星期一 文章概率论与数理统计样本及抽样分布更新完毕开始阅读
X/mnX ?Y/nmY服从自由度为(m,n)的F分布, 记为F~F(m,n).
F(m,n)分布的概率密度:
F?m1??1?(m?n)m??m?2?m?2??[(m?n)/2]?,x?0 ???x??1?x?f(x)???(m/2)?(n/2)?n??n??n??x?0?0,F分布具有如下性质:
1．若X~t(n)，则X2~F(1,n);
12．若F~F(m,n), 则 ~F(n,m).
F3．F分布的分位数:
设F~F?(n,m)，对给定的实数?(0???1),称满足条件
P{F?F?(n,m)}????F?(n,m)f(x)dx??
的点F?(n,m)为F(n,m)分布的水平?的上侧分位数. F分布的上侧分位数的可自附表查得.
4．F分布的一个重要性质:
1F?(m,n)?.
F1??(n,m)此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数.
例题选讲: 分位数
例1（讲义例1）设??0.05, 求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.
?2分布
例2（讲义例2）设X1,?,X6是来自总体N(0,1)的样本, 又设
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2
试求常数C, 使CY服从?2分布.
t分布
例3（讲义例3）设随机变量X~N(2,1), 随机变量Y1,Y2,Y3,Y4均服从N(0,4), 且X,Yi(i?1,2,3,4)都相互独立, 令
T?4(X?2)?Yi?14,
i2试求T的分布, 并确定t0的值, 使P{|T|?t0}?0.01.
F分布
例4（讲义例4）设总体X服从标准正态分布, X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个简单随机样本, 试问统计量
?n?5252Y???1??Xi?Xi,n?5
?5?i?1i?1服从何种分布?
课堂练习
1.设X1,X2,X3,X4,X5是来自正态总体N(0,22)的样本.
C(X1?X2)(1) 求C使统计量Y1?服从t(m)分布.
222X3?X4?X5(X1?X2)2(2) 求Y2?所服从的分布. 2(X4?X3)
第三节 抽样分布
内容分布图示
★ 抽样分布
★ 单正态总体的抽样分布
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 双正态总体的抽样分布
★ 例6 ★ 例7 ★ 一般总体抽样分布的极限分布
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-3 ★ 返回
内容要点：
一、抽样分布
有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布.
讨论抽样分布的途径有两个. 一是精确地求出抽样分布, 并称相应的统计推断为小样本统计推断; 另一种方式是让样本容量趋于无穷, 并求出轴样分布的极限分布.然后,在样本容量充分大时, 再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布, 进而对未知参数进行统计推断, 称与此相应的统计推断为大样本统计推断. 这里重点讨论正态总体的抽样分布, 属小样本统计范畴；此外, 也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限分布, 属大样本统计范畴。
二、单正态总体的抽样分布
设总体X的均值?,方差为?2,X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本,X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
E(X)??,D(X)??2,
?1?n2????Xi?nX2?? 而 E(S)?E???????n?1?i?1?1?n1?n22?2222??E(X)?nE(X)?(???)?n(?/n??)???2. ?????in?1?i?1?n?1?i?1?故有下列定理:
定理1 设总体X~N(?,?2), X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
2(1) X~N(?,?2/n); (2) U?X??~N(0,1). ?/n定理2 设总体X~N(?,?2), X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) ?=
2n?1?2S?21?2?(Xii?1n?X)2~?2(n?1);
(2) X与S2相互独立.
定理3 设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn是取自X的一个 样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
(1) ??(2) T?21?2?(Xi?1ni??)2~?2(n)
X??S/n~t(n?1).
三、双正态总体的抽样分布
2定理4 设X~N(?1,?12)与Y~N(?2,?2)是两个相互独立的正态总体, 又设
X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本, X与S12分别为该样本的样本均值与样本方差.
12分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记Sw2是Y1,Y2,?,Yn是取自总体Y的样本, Y与S222的加权平均, 即 S12与S2Sw22(n1?1)S12?(n2?1)S2?.
n1?n2?2则 (1) U?(X?Y)?(?1??2)?122/n1??22~N(0,1);
/n2??2?S12(2) F??????S2~F(n1?1,n2?1);
?1?2(X?Y)?(?1??2)22~t(n1?n2?2). (3) 当?1??2??2时, T?Sw1/n1?1/n2
四、一般总体抽样分布的极限分布
定义1 设Fn(x)为随机变量Xn的分布函数, F(x)为随机变量X的分布函数,并记C(F)为由F(x)的全体连续点组成的集合, 若
limFn(x)?F(x),?x?C(F),
n??则称随机变量Xn依分布收敛于X, 简记为
ddXn???X或Fn(x)???F(x).
命题 设随机变量X有连续的分布函数,且有
dPXn???X,Yn???1, d则 XnYn???X.
定理5 设X1,X2,?,Xn为总体X的样本,并设总体X的数学期望与方差均存在, 记为
EX??;DX??2.记统计量
Un?X???/n,Tn?X??S/n,
其中X与S分别表示上述样本的样本均值与样本方差,则有
d (1)FUn(x)????0(x),d(2)FTn(x)????0(x),
以上FUn(x),FTn(x)与?(x)分别表示Un,Tn与标准正态分布的分布函数.
注： 定理4成立的条件只是总体的方差存在，这样当样本的容量n充分大时，Un和Tn都近似地服从标准正态分布，因此在?2已知时，可用Un对?进行统计推断；在?2未知时，可用Tn对?进行统计推断。
例题选讲：
单正态总体的抽样分布
例1（讲义例1）设X~N(21,22),X1,X2,?,X25为X的一个样本,求: (1) 样本均值X的数学期望与方差; (2) P{|X?21|?0.24}.
例2（讲义例2）假设某物体的实际重量为?, 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称了n次,得到X1,X2,?,Xn. 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布N(?,?2), 方差?2反映了天平及测量过程的总精度, 通常我们用
??2??3?样本均值X去估计?, 根据定理1, X~N???,n?. 再从正态分布的性质知
???3??P?|X??|???99.7%.
n??这就是说, 我们的估计值X与真值?的偏差不超过3?/n的概率为99.7%,并且随着称量次数n的增加, 这个偏差界限3?/n愈来愈小. 例如若??0.1,n?10. 则
?3?0.1?P?|X??|???P{|X??|?0.09}?99.7%,
10??于是我们以99.7%的概率断言, X与物体真正重量?的偏差不超过0.09.如果将称量次数n增加到100, 则
?3?0.1?P?|X??|???P{|X??|?0.03}?99.7%.
100??这时,我们以同样的概率断言, X与物体真正重量?的偏差不超过0.03.
例3（讲义例3）在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(?,?2), 这里?2?100米2, 现在进行了25次发射试验, 用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求S2超过50米2的概率.
例4（讲义例4）从正态总体N(?,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2,?,X10. X是样本的均值. 若?未知, 计算概率
?10??10?2P??(Xi??)?1.68?与P??(Xi?X)2?2.85?. ?i?1??i?1?
双正态总体的抽样分布
例5（讲义例5）从正态总体X~N(?,?2)中抽取容量为16的一个样本, X,S2分别为样本的均值和方差. 若?,?2均未知, 求S2的方差DS及概率:
2?S2???2?116(1) P?2?2.041?; (2) P???(Xi?X)2?2?2?
????216i?1???2?116 (3) P???(Xi??)2?2?2?.
?216i?1?
例6（讲义例6）设两个总体X与Y都服从正态分布N(20,3)，今从总体X与Y中分别抽得容量n1?10,n2?15的两个相互独立的样本, 求P{|X?Y|?0.3}.
例7（讲义例7）设总体X和Y相互独立且都服从正态分布N(30,32);
2分别是这两个样均值X1,?,X20;Y1,?,Y25分别来自总体X和Y的样本, X,Y, S12和S22和方差. 求P{S12/S2?0.4}.
课堂练习
1. 设X1,X2,?,X15为正态总体N(0,32)的一个样本, X为样本均值, 求:
15?? P?36.65??(Xi?X)2?235?.
i?1??2. 设X1,X2,?,Xn为总体X~N(?,?2)的一个样本, X和S2为样本均值和样本方差.
又设新增加一个试验量Xn?1,Xn?1与X1,?,Xn也相互独立, 求统计量
U?Xn?1?XSn n?1的分布.