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第五章 样本及抽样分布
从本章开始, 我们将讲述数理统计的基本内容. 数理统计作为一门学科诞生于19世纪末20世纪初, 是具有广泛应用的一个数学分支, 它以概率论为基础, 根据试验或观察得到的数据, 来研究随机现象, 以便对研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断.
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性, 故理论上只要对随机现象进行足够多次观察, 则研究对象的规律性就一定能清楚地呈现出来, 但实际上人们常常无法对所研究的对象的全体(或总体) 进行观察, 而只能抽取其中的部分(或样本) 进行观察或试验以获得有限的数据.
数理统计的任务包括: 怎样有效地收集、整理有限的数据资料; 怎样对所得的数据资料进行分析、研究, 从而对研究对象的性质、特点, 作出合理的推断, 此即所谓的统计推断问题, 本课程主要讲述统计推断的基本内容.
第一节 数理统计的基本概念
内容分布图示
★ 引言 ★ 总体与总体分布 ★ 样本与样本分布 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 统计推断问题简述
★ 分组数据统计表和频率直方图 ★ 例5 ★ 经验分布函数 ★ 例6
★ 统计量 ★ 样本的数字特征
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-1 ★ 返回
内容要点：
一、总体与总体分布
总体是具有一定共性的研究对象的全体, 其大小与范围随具体研究与考察的目的而确定. 例如, 考察某大学一年级新生的体重情况, 则该校一年级全体新生就构成了待研究的总体. 总体确定后, 我们称总体的每一个可观察值为个体. 如前述总体(一年级新生) 中的每一个个体即为每个新生的体重. 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的称为有限总体, 容量为无限的称为无限总体.
数理统计中所关心的并非每个个体的所有性质, 而仅仅是它的某一项或某几项数量指标. 如前述总体(一年级新生)中, 我们关心的是个体的体重, 进而也可考察该总体中每个个体的身高和数学高考成绩等数量指标.
总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值, 故它是某一随机变量X的值,于是, 一个总体对应于一个随机变量X, 对总体的研究就相当于对一个随机变量X的研究, X的分布就称为总体的分布函数, 今后将不区分总体与相应的随机变量, 并引入如下定义:
定义 统计学中称随机变量(或向量)X为总体, 并把随机变量(或向量)的分布称为总体分布.
注(i) 有时个体的特性很难用数量指标直接描述, 但总可以将其数量化,如检验某学校全体学生的血型, 试验的结果有O型、A型、B型、AB型4种, 若分别以1,2,3,4依次记这4种血型,则试验的结果就可以用数量来表示了;
(ii) 总体的分布一般来说是未知的, 有时即使知道其分布的类型(如正态分布、二项分布等),但不知这些分布中所含的参数等(如?,?2,p等).数理统计的任务就是根据总体中部分个体的数据资料对总体的未知分布进行统计推断.
二、样本与样本分布
由于作为统计研究对象的总体分布一般来说是未知的,为推断总体分布及其各种特征,一般方法是按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察,通过观察可得到关于总体X的一组数值(x1,x2,?,xn),其中每一xi是从总体中抽取的某一个体的数量指标Xi的观察值.上述抽取过程为抽样,所抽取的部分个体称为样本.样本中所含个体数目称为样本的容量.为对总体进行合理的统计推断,我们还需在相同的条件下进行多次重复的、独立的抽样观察,故样本是一个随机变量(或向量).容量为n的样本可视为n维随机向量(X1,X2,?,Xn),一旦具体取定一组样本,便得到样本的一次具体的观察值
(x1,x2,?,xn),
称其为样本值.全体样本值组成的集合称为样本空间.
为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息, 必须考虑抽样方法,最常用的一种抽样方法称为简单随机抽样, 它要求抽取的样本满足下面两个条件:
1. 代表性: X1,X2,?,Xn与所考察的总体具有相同的分布; 2. 独立性: X1,X2,?,Xn是相互独立的随机变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本, 它可用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,?,Xn表示. 显然, 简单随机样本是一种非常理想化的样本, 在实际应用中要获得严格意义下的简单随机样本并不容易.
对有限总体, 若采用有放回抽样就能得到简单随机样本,但有放回抽样使用起来不方便, 故实际操作中通常采用的是无放回抽样, 当所考察的总体很大时, 无放回抽样与有放回抽样的区别很小, 此时可近似把无放回抽所得到的样本看成是一个简单随机样本. 对无限总体, 因抽取一个个体不影响它的分布, 故采用无放回抽样即可得到的一个简单随机样本.
注: 今后假定所考虑的样本均为简单随机样本, 简称为样本.
设总体X的分布函数为F(x),则简单随机样本(X1,X2,?,Xn)的联合分布函数为
F(x1,x2,?,xn)??F(xi)
i?1n并称其为样本分布.
特别地, 若总体X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),则样本的概率密度为
f(x1,x2,?,xn)??f(xi)
i?1n分别称f(x)与f(x1,x2,?,xn)为总体密度与样本密度.
若总体X为离散型随机变量,其概率分布为p(xi)?P{X?xi}, x取遍X所有可能取值, 则样本的概率分布为
p(x1,x2,?,xn)?p{X?x1,X?x2,?,X?xn}??p(xi),
i?1n分别称p(xi)与p(x1,x2,?,xn)为离散总体密度与离散样本密度.
三、统计推断问题简述
总体和样本是数理统计中的两个基本概念. 样本来自总体，自然带有总体的信息，从而可以从这些信息出发去研究总体的某些特征（分布或分布中的参数）. 另一方面，由样本研究总体可以省时省力（特别是针对破坏性的抽样试验而言）. 我们称通过总体X的一个样本X1,X2,?,Xn对总体X的分布进行推断的问题为统计推断问题.
总体、样本、样本值的关系:
总体
↙ ↖推断
（个体）样本 → 样本值
抽样
在实际应用中, 总体的分布一般是未知的, 或虽然知道总体分布所属的类型, 但其中包
含着未知参数. 统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断.
为对总体进行统计推断, 还需借助样本构造一些合适的统计量, 即样本的函数, 下面将对相关统计量进行深入的讨论.
四、分组数据统计表和频数直方图 通过观察或试验得到的样本值，一般是杂乱无章的，需要进行整理才能从总体上呈现其统计规律性. 分组数据统计表或频率直方图是两种常用整理方法. 1. 分组数据表：若样本值较多时，可将其分成若干组，分组的区间长度一般取成相等, 称区间的长度为组距. 分组的组数应与样本容量相适应. 分组太少，则难以反映出分布的特征，若分组太多，则由于样本取值的随机性而使分布显得杂乱. 因此，分组时，确定分组数（或组距）应以突出分布的特征并冲淡样本的随机波动性为原则. 区间所含的样本值个数陈为该区间的组频数. 组频数与总的样本容量之比称为组频率.
2. 频数直方图：频率直方图能直观地表示出频数的分布，其步骤如下： 设x1,x2,?,xn是样本的n个观察值.
(i) 求出x1,x2,?,xn中的最小者x(1)和最大者x(n)；
(ii) 选取常数a（略小于x(1)）和b（略大于x(n)），并将区间[a,b]等分成m个小区间（一般取m使
1m在左右）： 10nb?a, m [ti,ti??t),i?1,2,?,m,?t?一般情况下，小区间不包括右端点.
n? (iii) 求出组频数ni，组频率i?fi，以及
nf hi?i,(i?1,2,?,n)
?t(iv) 在[ti,ti??t)上以hi为高，?t为宽作小矩形，其面积恰为fi，所有小矩形合在一起就构成了频率直方图
五、经验分布函数
样本的直方图可以形象地描述总体的概率分布的大致形态，而经验分布函数则可以用来描述总体分布函数的大致形状。
定义 设总体X的一个容量为n的样本的样本值x1,x2,?,xn可按大小次序排列成
x(1)?x(2)???x(n).
若x(k)?x?x(k?1),则不大于x的样本值的频率为
k. 因而函数 n?0,若x?x(1),??kFn(x)??,若x(k)?x?x(k?1),
?n?1,若x?x(n).?与事件{X?x}在n次独立重复试验中的频率是相同的，我们称Fn(x)为经验分布函数。
对于经验分布函数Fn(x), 格里汶科(Glivenko)在1933年证明了以下的结果: 对于任一实数x, 当n??时Fn(x)以概率1一致收敛于分布函数F(x), 即
P{limsup|Fn(x)?F(x)|?0}?1.
n?????x??因此, 对于任一实数x当n充分大时, 经验分布函数的任一个观察值Fn(x)与总体分布函数F(x)只有微小的差别, 从而在实际中可当作F(x)来使用. 这就是由样本推断总体其可行性的最基本的理论依据.
六、统计量
为由样本推断总体,要构造一些合适的统计量, 再由这些统计量来推断未知总体. 这里, 样本的统计量即为样本的函数. 广义地讲, 统计量可以是样本的任一函数, 但由于构造统计量的目的是为推断未知总体的分布,故在构造统计量时, 就不应包含总体的未知参数, 为此引入下列定义.
定义 设(X1,X2,?,Xn)为总体X的一个样本, 称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量.
七、样本的数字特征
以下设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本. 1n1. 样本均值 X??Xi
ni?11n(Xi?X)2 2. 样本方差 S??n?1i?123. 样本标准差 S?1n(Xi?X)2 ?n?1i?11nk4. 样本(k阶)原点矩 Ak??Xi,k?1,2,?
ni?11n5. 样本(k阶)中心矩 Bk??(Xi?X)k,k?2,3,?
ni?1注: 上述五种统计量可统称为矩统计量,简称为样本矩,它们都是样本的显示函数,它们的观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本(k阶)原点矩、样本(k阶)中心矩.
6. 顺序统计量 将样本中的各分量按由小到大的次序排列成
X(1)?X(2)???X(n), 则称X(1),X(2),?,X(n)为样本的一组顺序统计量, X(i)称为样本的第i个顺序统计量. 特别地, 称X(1)与X(n)分别为样本极小值与样本极大值, 并称X(n)?X(1)为样本的极差.
例题选讲：
例1 (讲义例1) 样本的一些例子与观察值的表示方法:
(1) 某食品厂用自动装罐机生产净重为345克的午餐肉罐头, 由于随机性, 每个罐头的净重都有差别. 现在从生产线上随机抽取10个罐头, 秤其净重, 得如下结果:
344 336 345 342 340 338 344 343 344 343
这是一个容量为10的样本的观察值, 它是来自该生产线罐头净重这一总体的一个样本的观察值.
(2) 对某型号的20辆汽车记录每加仑汽油各自行驶的里程数(单位:公里)如下:
29.8 27.6 28.3 28.7 27.9 30.1 29.9 28.0 28.7 27.9 28.5 29.5 27.2 26.9 28.4 27.8 28.0 30.0 29.6 29.1
这是一个容量为20的样本的观察值, 对应的总体是该型号汽车每加仑汽油行驶的里程.
(3) 对363个零售商店调查周售额(单位:元)的结果如下:
零售额?1000(1000,5000](5000,10000](10000,20000](20000,30000]
商店数611351104215这是一个容量为363的样本的观察值, 对应的总体是所有零售店的周零售额. 不过这里没有给出每一个样品的具体的观察值, 而是给出了样本观察值所在的区间, 称为分组样本的观察值.这样一来当然会损失一些信息, 但是在样本量较大时, 这种经过整理的数据更能使人们对总体有一个大致的印象.
例2 (讲义例2) 称总体X为正态总体, 如它服从正态分布. 正态总体是统计应用中最常