发布时间 : 星期五 文章人教A版高中数学必修五新课标同步导学课后练习(3)更新完毕开始阅读
第3章 3.4
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论正确的是( ) A．当x>0且x≠1时，lg x＋B．当x>0时，x＋
1
≥2 x
1
≥2 lg x
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0 x 解析： A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不正确， 11 ∴lg x＋≥2或lg x＋≤－2； lg xlg x15 x＋?min＝； C中，当x≥2时，??x?2 113 x－?max＝.故选B. D中，当0 2．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数为( ) ①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3； 11 ⑤＋≥2. ab A．1 C．3 解析： 因ab≤? B．2 D．4 a＋b?2 ?2?＝1，所以①正确； 因(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝2＋2ab≤2＋a＋b＝4， 所以a＋b≤2，故②不正确； ?a＋b?2 因a＋b≥＝2，所以③正确； 2 2 2 因a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确； 11a＋b2因＋＝＝≥2，所以⑤正确． ababab故正确的命题为①③⑤. 答案： C 11 3．设a＞0，b＞0.若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( ) abA．8 C．1 B．4 1D. 4 解析： 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1， 11?11ba ＋＝2＋＋ ＋＝(a＋b)??ab?abab≥2＋2 ba ·＝4， ab ba 当且仅当＝， ab 1 即a＝b＝时，“＝”成立，故选B. 2答案： B 4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( ) A．3 9C. 2 解析： ∵2xy≤?∴8－(x＋2y)≤? x＋2y?2?2? B．4 11D. 2 x＋2y?2?2? 即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 ∴x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍)． 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) xy＋ 5．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 34xy 解析： 由＋＝1为定值知 34xy＋342xy xy＝12··≤12()＝3. 342xy ∴当且仅当＝时xy有最大值3. 34 答案： 3 x 6．若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是________． x＋3x＋1x 解析： a≥2＝ x＋3x＋11又x＋≥2 x∴ 11 ≤ 15x＋＋3x 1 1x＋＋3x 1∴a≥ 51 答案： a≥ 5 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等． bcacab 求证：＋＋＞a＋b＋c. abc证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0， bcac∴＋≥2abacab＋≥2bcbcab＋≥2ac abc2＝2c， aba2bc ＝2a， bcab2c＝2b. ac 又a，b，c不全相等，故上述符号至少有一个不成立． bcacab ∴＋＋＞a＋b＋c. abc 8．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解析： (1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy， 27∴26xy≤18，得xy≤， 2 27 即S≤，当且仅当2x＝3y时等号成立． 2由{2x＋3y＝18， x＝3y， 解得{x＝4.5， y＝3. 故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. ∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当2x＝3y时等号成立． ??2x＝3y，由???xy＝24， ??x＝6， 解得? ??y＝4. 故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小． 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知a>0，b>0，ab＝a＋b＋3，求： (1)ab的最小值； (2)a＋b的最小值． 解析： (1)∵a>0，b>0， ∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3 ∴(ab)2－2ab－3≥0， ∴ab≥3或ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9. 等号成立的条件是a＝b且ab＝9， 即a＝b＝3，故ab的最小值为9. (2)∵a>0，b>0，ab≤?∴ab＝a＋b＋3≤? a＋b?2?2? a＋b?2?2? ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0 ∴a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去) 当且仅当a＝b且a2－2a－3＝0 即a＝b＝3时取等号． ∴当a＝b＝3时，a＋b取得最小值6.