发布时间 : 星期日 文章《极坐标系》导学案更新完毕开始阅读
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第2课时 极 坐 标 系
知识体系梳理
问题1:极轴 逆时针 极坐标系 问题2:极径 极角 极坐标 M(ρ,θ) x=ρcosθ,
问题3:{
y=ρsinθρ2=x2+y2,
问题4:{ y
tanθ=(x≠0)
x
基础学习交流
1.B 当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取|OM|=|ρ|,则点M就是坐标(ρ,θ)的点,故选B.
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2.A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点为(-ρ,π-θ),由点M1(ρ1,θ1)和M2(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知点M1与M2关于极轴所在的直线对称.
3.(2,)(答案不唯一) 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求
43π
解,即ρ=√(-√2)2+(√2)2=2,tan θ=-1.因为点P在第二象限,所以可取一个极角为.
43π
4.解:(1)所有点都在以极点为圆心,半径为2的圆上.点B、G关于极轴对称,点D、E关于极轴对称,点C、F关于极点对称.
(2)所有点都在倾斜角为,且过极点的直线上.点D、E关于极点对称.
4π
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵x=ρcos θ=2cosθ=2sin=1.∴点(2,)的直角坐标为(√3,1).
6
6
π
π
π6
=√3,y=ρsin
(2)∵x=ρcos θ=3cos=0,y=ρsin θ=3sin=3.
2
2
ππ
∴点(3,)的直角坐标为(0,3).
2
π
(3)∵x=ρcos θ=4cos=-2,y=ρsin θ=4sin=2√3. 33∴点(4,)的直角坐标为(-2,2√3). 32π
2π2π
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(4)∵cos=√
12
π
1+cos2π12
π6=√
1+
1-cos1-π√6+√26√2√=,sin==
241222π12
√32π√3=
√6-√2,∴4
π12
x=ρcos θ=4cos(-π12
)=4cos
π12
=√6+√2,y=ρsin θ=4sin(-)=-
4sin=√2-√6.∴点(4,-)的直角坐标为(√2+√6,√2-√6). x=ρcosθ,
【小结】严格按照{进行转化,注意准确计算.
y=ρsinθ 探究二:【解析】显然OA=2,OB=√2,∠AOB=,由余弦定理得
4π
AB=√OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB=√2,故OB=AB,∠ABO=,即△AOB
2
π
为等腰直角三角形.
【答案】D
【小结】极坐标中的ρ和θ分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.
x=ρcosθ,π5π 探究三:【解析】(法一)由公式{得点P(2,)和点Q(4,)
36y=ρsinθ ,的直角坐标分别为P(1,√3)和Q(-2√3,2),由两点间的距离公式得|PQ|=√(1+2√3)2+(√3-2)2=2√5.
(法二)在极坐标系中,已知点P(2,)和点Q(4,),故∠POQ=,所
3
6
2
π
5π
π
以|PQ|=√22+42=2√5.
【答案】2√5 【小结】如果极坐标系中的两点确定,那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标,在平面直角坐标系中计算,也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算. 思维拓展应用
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应用一:(1)由题意知x=2cos
4π3
=2×(-)=-1,y=2sin
2
14π3
=2×(-
4π√3)=-√3,即点(2,)的直角坐标为(-1,-√3),是第三象限内的点. 23
2π2π2π
(2)由题意知x=2cos =-1,y=2sin =√3,即点(2,)的直角坐333
π3
π3
π3
标为(-1,√3),是第二象限内的点.
(3)由题意知x=2cos(-)=1,y=2sin(-)=-√3,即点(2,-)的直角坐标为(1,-√3),是第四象限内的点.
(4)由题意知x=2cos(-2)=2cos 2<0(<2<π),y=2sin(-2)=-2sin
2π
2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点. 应用二:(1)画图可知,A、B、C三点都在以极点为圆心,2为半径的圆上,且所对的圆心角均为π,∴|AB|=|AC|=|BC|,∴△ABC为正三
32
角形.
(2)由(1)知|AB|=2sin ,∴|AB|=2√3,∴△ABC的面积为
2
3
1
π
S=×2√3×2√3×=3√3. 22
应用三:√2或3√2 根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,得P、Q的直角
坐
标
分
别
为+(-4+
P(0,-4)
、
Q(
√22
1√3ρ,-
√2√2ρ).∴|PQ|=√(0-ρ)222√2ρ)2=√10,解得ρ=√2或ρ=3√2. 2
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1.B 由题意知∠AOB=-(-)=,故选B.
3
6
2
π
π
π
x=ρcosθ,2
2.C 由公式{得{所以直角坐标为(-√3y=ρsinθ,y=6×(-)=-3√3,2
x=6×(-)=-3,
1
3,-3√3),选择C.
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