发布时间 : 星期六 文章第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组精彩试题与解答更新完毕开始阅读
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第十九届市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
一、填空题（每小题3分，共30分）
1?3?26x1. lim?(x?x?)ex?x?1?= 1/6 . x???2??2．设f(x)连续，在x?1处可导，且满足 f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?o(x),x?0, 则曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为 y=2x－2 . 3. 设limx?0y?0f(x,y)?3x?4y?2, 则 2fx?(0,0)?fy?(0,0)? －2 . 22x?yu2??z?zxy??0，则?(u)?e4 . 4．设函数?(u)可导且?(0)?1，二元函数z??(x?y)e满足
?x?y5. 设D是由曲线y?sinx (?????x?)和直线x??, y?1所围成的区域, f是连续函数, 则222I???x[1?y3f(x2?y2)]dxdy? －2 .
D??1??2??3??n??ln1?ln1?ln1?ln?????1?????n?????n???n??L??n???2ln2?1 .
6. lim?n???23n??n?1n?n?n??nnnn???7. 数项级数
?(?1)nn?1?n?(2n)!的和S? －1+cos1+ln2.
n(2n)!112?dxdycos?0?0?0[6(x?y?z)]dz= 1/2 . x?1y?19. 已知入射光线的路径为??z?2, 则此光线经过平面x?2y?5z?17?0反射后的反射线
438. 计算积分I?1方程为
x?7y?5z . ??31?4222asin(ex)?bsin(ey)ds?a?bL . 10. 设曲线C:x?xy?y?a的长度为L, 则?xyCsin(e)?sin(e)2二、(10分) 设f(x)在[a,??)上二阶可导，且f(a)?0,f?(a)?0,而当x?a时, f??(x)?0,证明在(a,??)，方程f(x)?0有且仅有一个实根．
证明 由于当x?a时，f??(x)?0,因此f'(x)单调减，从而f'(x)?f'(a)?0，于是又有f(x)严格单调减．再由f(a)?0知，f(x)最多只有一个实根．
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下面证明f(x)?0必有一实根．当x?a时，
f(x)?f(a)?f'(?)(x?a)?f'(a)(x?a)， 即 f(x)?f(a)?f'(a)(x?a)，
上式右端当x???时，趋于??，因此当x充分大时，f(x)?0，于是存在b?a，使得f(b)?0，由介值定理存在?(a???b)，使得f(?)?0．综上所述，知f(x)?0在(a,??)有而且只有一个实根． 三、(10
分)
设
f(x,y)有二阶连续偏导数,
g(x,y)?f(exy,x2?y2), 且
f(x,y)?1?x?y?o((x?1)2?y2), 证明g(x,y) 在(0,0)取得极值, 判断此极值是极大值还是极
小值, 并求出此极值.
解 f(x,y)??(x?1)?y?o((x?1)?y), 由全微分的定义知 f(1,0)?0 fx?(1,0)?fy?(1,0)??1.
22?xy????xy? g?x?f1?ey?f2?2x g?y?f1?ex?f2?2y gx(0,0)?0 gy(0,0)?0
??(f11???exyy?f12???2x)exyy?f1??exyy2?(f21???exyy?f22???2x)2x?2f2? g?x2xyxyxyxyxy???????????2y)2x g??(f?ex?f?2y)ey?f?(exy?e)?(f?ex?f22xy1112121??(f11???ex?f12???2y)ex?f1??ex?(f21???ex?f22???2y)2y?2f2? g?y2?(0,0)?2f2?(1,0)??2， B?g????(0,0)?2f2?(1,0)??2 A=g?xy(0,0)?f1(1,0)??1，C?g?x2y2 AC?B?3?0, 且A?0, 故g(0,0)?f(1,0)?0是极大值.
四、(10分) 设f (x)在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在xn?[0,1]，使
2xyxyxy2xy1f(xn)?f(xn?)．
n证明 令?(x)?f(x)?f(x?11),?(x)在[0,1?]上连续,所以有最大值M及最小值m. nnk1于是有 m??()?M,k?0,1,?,n?1, 所以 m?nn故存在xn?[0,1??k?0n?1?()?M.
kn1], 使 n1n?1k11n?1?(xn)???()?[?(0)??()????()]nk?0nnnn1112n?11?[f(0)?f()?f()?f()???f()?f(1)]?[f(0)?f(1)]?0.nnnnnn
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1f(xn)?f(xn?)．
n?五、(10分)设f(x)有连续的二阶导数,f(0)?f?(0)?0,且f??(x)?0,求limx?0?u(x)0f(t)dt?x0,其中u(x)是
f(t)dt曲线y?f(x)在点(x,f(x))处切线在x轴上的截距.
解切线方程：Y?f(x)?f?(x)(X?x),f(x)f??(x)f(x)
它在x轴上的截距为u(x)?x?,于是u?(x)?.f?(x)[f?(x)]21x由f(x)?f??(0)x2?o(x2)，f?(x)?f??(0)x?o(x)，知u(x)??o(x).22由洛必达法则有1??(x)[f??(0)u2(x)?o(u2(x))]f ?f(u(x))u?(x)f(u(x))f??(x)102lim?lim??lim??lim??.x22x?0?x?0x?0x?0???f(x)8[f(x)][f(0)x?o(x)]?f(t)dtu(x)f(t)dt0六、(10分) 设函数f(x)具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面S上,积分
2xxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?ezdxdy ??S的值恒为同一常数.
(1)证明: 对空间区域x?0的任意光滑简单闭曲面?,有
2xxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?ezdxdy?0; ???(2) 求函数f(x)(x?0)满足lim?f(x)?1的表达式.
x?0(1)证明:
如图, 将
?分解为
??S1?S2,另做曲面S3围绕原点且与?相接, 则
???f(x)dydz?yf(x)dzdx?zsinxdxdy
S1?S3???f(x)dydz?yf(x)dzdx?zsinxdxdy???f(x)dydz?yf(x)dzdx?zsinxdxdy=0.
?S2?S32x(2) 由(1)可知, xf'(x)?f(x)?xf(x)?e?0,其通解为
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e2x?Cexe2x?Cexe2x?ex, 由lim?f(x)?lim?f(x)??1, 得C??1,故f(x)?(x?0)
x?0x?0xxx
七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线y?a(1?x) (a?0) 及x轴所围成的, 现要求当 此薄片以(1,0)为支点向右方倾斜时, 只要?角不超过45, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数a 最大不能超过多少? y 解 x?0 y??2??ydxdyD??dxdyD?2?dx?0101a(1?x2)a(1?x2)0ydydy??dx?2a 5M 0 倾斜前薄片的质心在P(0,2a), 点P与点(1,0)的距离为 5N??1O12a()2?1, 薄片不翻倒的临界位置的质心在点 5M(1,(x2a222)?1), 此时薄片底边中心在点N(1?,)处, 有 522( kMN?2a22)?1?5552?tan45??1, 解得??, 故a最大不能超过. .
2221?(1?)2
八、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, |f?(x)|?1,|解 不存在这样的函数.
当x?(0,2)时, f(x)?1?f?(?1)x?1?f?(?2)(2?x),?1?(0,x),?2?(x,2). 由题设知f(x)?1?x,f(x)?x?1,且
?20f(x)dx|?1.
?10f(x)dx??10(1?x)dx?1,2?21f(x)dx??21(x?1)dx?1. 2下面证明上面的不等式不能同时取等. 否则,
当x?[0,1]时,f(x)?1?x, 当x?[1,2]时,f(x)?x?1,此时函数不满足连续可导的条件.
于是
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?20f(x)dx??10f(x)dx??21f(x)dx?1, 故不存在满足所给条件的函数.