发布时间 : 星期日 文章7.5 空间中的垂直关系更新完毕开始阅读
7.5 直线与平面垂直
一、选择题
1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是( ) ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 答案：A
2．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，PA?α，PB?β且PA⊥l，则( ) A．∠APB的最大值等于二面角的平面角 B．∠APB的最小值等于二面角的平面角
C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值 D．∠APB就是二面角的平面角
解析：如右图，在平面β内作PC⊥l，则∠APC为二面角的平面角，cos∠APB＝cos∠BPC·cos∠APC≤cos∠APC，即∠APB≥∠APC，故选B.
答案： B
3．二面角α－AB－β的平面角是锐角，C∈α，CD⊥β，垂足为D，E∈AB，且∠CEB是锐角，则∠CEB与∠DEB的大小关系为( ) A．∠CEB＞∠DEB C．∠CEB≤∠DEB
B．∠CEB＜∠DEB
D．∠CEB与∠DEB的大小关系不确定
解析：如下图：作DF⊥AB垂足为F，连结CF由三垂线定理知∠CFD为二面角的平面角，可知∠CED，∠DEB均为锐角，cos∠CEB＝cos∠DEB·cos∠CED＜cos∠DEB，即∠CEB＞∠DEB.
答案： A
4．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( ) 125
A.π 12
125B.π 9
125C.π 6
125D.π 3
答案： C 二、填空题
5．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________． 答案：可填①③④?②与②③④?①中的一个
6．一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成的角的和的范围是________． 解析：作AC⊥l垂足为C，作BD⊥l垂足为D，连结BC、AD， 则∠BAD和∠ABC分别为直线AB和平面α和β所成角． 由cos∠ABD＝cos∠ABC·cos∠DBC≤cos∠ABC，
即∠ABD≥∠ABC，∠ABC＋∠BAD≤∠ABD＋∠BAD＝90°.
答案：(0°，90°]
7．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影 (1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的__________； (2)若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的__________；
(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的__________； (4)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的__________；
(5)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________． 答案：(1)外心 (2)外心 (3)内心 (4)内心 (5)垂心 三、解答题
8．若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
证明：∵平面PAC⊥平面PBC，作AD⊥PC垂足为D，
根据平面与平面垂直的性质定理知：AD⊥平面PBC，则BC⊥AD， 又PA⊥平面ABC，则BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC.因此BC⊥AC.
9．如右图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD， (1)证明AB⊥平面VAD；
(2)求面VAD与面VBD所成的二面角的正切值．
解答：(1)证明：∵平面VAD⊥底面ABCD， 又AB⊥AD，则AB⊥平面VAD. (2)取VD中点E，连结AE、BE，
∵△VAD是正三角形，则AE⊥VD，由三垂线定理知BE⊥VD. ∴∠AEB为面VAD与面VBD所成二面角的平面角． 设AB＝1，在Rt△AED中，AE＝ADsin 60°＝∴tan∠AEB＝AB23
＝. AE3
3
， 2
10．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱AD的中点，求二面角A－BD1－P的大小．
解答：∵AB⊥平面AD1P，∴平面AD1P⊥平面AD1B. 过P作PE⊥AD1垂足为E，
则PE⊥平面AD1B，作EF⊥BD1，连结PF， 则由三垂线定理知PF⊥BD1，
则∠PFE为二面角A－BD1－P的平面角，设AB＝1， ∵Rt△AEP∽Rt△ADD1，在等腰△PBD1中，BP＝
APPEAP·DD12＝∴PE＝＝， AD1DD1AD14
513，BF＝BD1＝， 222
∴PF＝BP2－BF2＝PE12
，在Rt△PEF中，sin∠PFE＝PF＝，∴∠PFE＝30°. 22
1．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC
＝45°，AB＝2，BC＝22，SA＝SB＝3.
(1)证明SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．
解答：(1)证明：作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
因为SA＝SB，所以AO＝BO.
又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC. (2)由(1)知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD， 由AD＝BC＝22，SA＝3，AO＝2，得SO＝1，SD＝11. 11
△SAB的面积：S1＝AB·SA2－(AB)2＝2.
221
连结DB，得△DAB的面积S2＝AB·ADsin 135°＝2.
2
11
设D到平面SAB的距离为h，由VD—SAB＝VS—ABD，得h·S1＝SO·S2，
33h222
解得h＝2.设SD与平面SAB所成角为α，则sin α＝SD＝＝.
1111所以，直线SD与平面SAB所成的角正弦值为
22. 11
2．如下图，已知四棱锥P－ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
(1)求点P到平面ABCD的距离；
(2)求面APB与面CPB所成二面角的余弦值． 解答：(1)如下图，作PO⊥平面ABCD，
垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于E，连结PE， ∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，∵PA＝PD，∴OA＝OD， 于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD. 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角， ∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°. 由已知可求得PE＝3， ∴PO＝PE·sin 60°＝3×333
＝，即点P到平面ABCD的距离为. 222