发布时间 : 星期三 文章高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合练习（含解析）(1)更新完毕开始阅读
数列综合
时间:50分钟 总分：70分
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一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1a9＋a10
1．在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
2a7＋a8
A．1＋2 C．3＋22 【答案】C
【解析】 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q＝a1＋2a1q，所以q－2q2
2
B．1－2 D．3－22
a9＋a10q2a7＋a822
－1＝0，解得q＝1±2.又q＞0，因此有q＝1＋2，故＝＝q＝(1＋2)＝3
a7＋a8a7＋a8
＋22.
2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( )
A.2 C．2 【答案】C
【解析】 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a3＝a1a7得(a1＋2d)＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的
公比q＝＝2
2
B．4 1
D. 2
a3a1＋2d2a1
＝＝2.
a1a1a1
3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织布的尺数是( )
1
A. 2C.16 31
8B. 1516D. 29
【答案】D
30×2916
【解析】 由题意知，a1＝5，n＝30，Sn＝390＝30×5＋d?d＝. 229
4．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a7＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．2 C．8 【答案】D
B．4 D．16
2
【解析】 因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a7＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍
去)，又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b7＝a7＝16.
5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产
2
2
2
n年的产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，
环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( ) A．5年 C．7年 【答案】C
1
【解析】 令第n年的年产量为an，则由题意可知第一年的产量a1＝f(1)＝×1×2×3＝3(吨)；第n(n＝
2
112
2,3，…)年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－(n－1)·n·(2n－1)＝3n(吨)．
22令3n≤150，则结合题意可得1≤n≤52.又n∈N，所以1≤n≤7，即生产期限最长为7年． 6．数列{an}的通项an＝ncos
A．470 C．495 【答案】A
2nπ2πx2
【解析】 注意到an＝ncos，且函数y＝cos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，
33
2
2
2
*
1
2
B．6年 D．8年
nπ
3
－sin
2
nπ
3
，其前n项和为Sn，则S30为( )
B．490 D．510
an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4,7，…， S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)
7??7?7?10×1＋287??＝?3×1＋?＋?3×4＋?＋…＋?3×28＋?＝3×＋×10＝470. 2??2?2?22??二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
?an?
?的前n项和Sn等于________．7．设曲线y＝x(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列? ?n＋1?
n121272
【答案】 2n＋1－2
【解析】 y′＝nxn－1－(n＋1)xn，∴y′|x＝2＝n·2n－1－(n＋1)·2n＝－n·2n－1－2n.
∴切线方程为y＋2＝(－n·2
nnn－1
－2)(x－2)，
nn令x＝0，得y＝(n＋1)·2，即an＝(n＋1)·2.∴
＝2，∴Sn＝2n＋1
annn＋1
－2.
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________． 1
【答案】 3
【解析】 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q)，
12
即3q－q＝0，又q≠0，∴q＝. 3
9．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 1
【答案】 －n
1
1
1
1
1
【解析】 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴Sn－Sn＋1＝1，即Sn＋1－Sn＝－1.又S1
?1?1??＝－1，∴?Sn?是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
2
1
∴Sn＝－.
n10．设Sn为数列{an}的前n项和，若
S2n*
(n∈N)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{cn}是Sn首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________. 【答案】 4
nc1＋cn【解析】由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝
2n∴
2
2n，前2n项和为S2n＝
c1＋c2n2
，
c1＋c2n2nd2S2n＝2＋＝2＋，∴当d＝4时，＝4.
4＋nd－d4－dSn1＋
2S2n＝
Snnc1＋cn2
nd三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
?1?n??的前n项和为11．(2015·山东高考)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列.
2n＋1?an·an＋1?
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】见解析
【解析】 (1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得
令n＝2，得
1＋2
＝，所以a2a3＝15.② a2a351
1
＝，所以a1a2＝3.① a1a231
a1a2
由①②解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.经检验，符合题意． (2)由(1)知bn＝2n·2
1
2n－1
＝n·4，
nn所以Tn＝1·4＋2·4＋…＋n·4， 所以4Tn＝1·4＋2·4＋…＋n·4
1
2
2
3
2
n＋1
，
n＋1
两式相减，得－3Tn＝4＋4＋…＋4－n·4
n
＝
－41－4
n－n·4
n＋1
1－3nn＋143n－1n＋144＋＝×4－，所以Tn＝×4＋＝
3399
*
n－
9
n＋1
. 12.已知数列{an}的首项为a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N)．
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)令f(x)＝a1x＋a2x＋…＋anx，f′(x)是函数f(x)的导函数，令bn＝f′(1)，求数列{bn}的通项公式；
(3)若bn＜30成立，试求n的最大值． 【答案】见解析
【解析】 (1)证明：数列{an}中，∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴Sn＝2Sn－1＋n＋4，
∴Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＋1＝2(an＋1)， 当n＝1时，a2＝2a1＋1＝11，∴a2＋1＝12，a1＋1＝6， ∴{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)由(1)得an＋1＝(a1＋1)·2
nn－1
2
n＝6·2
2
n－1
＝3·2，
nn－1
n∴an＝3×2－1，又∵f(x)＝a1x＋a2x＋…＋anx，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanx，
f′(1)＝a1＋2a2＋…＋nan＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)
＝3(2＋2×2＋3×2＋…＋n×2)－(1＋2＋3＋…＋n)， 令S＝2＋2×2＋3×2＋…＋n×2， 则2S＝2＋2×2＋3×2＋…＋n×2作差得S＝(n－1)×2
*
2
3
4
2
3
2
3
nnn＋1
，
n＋1
n＋1
＋2，∴bn＝f′(1)＝3(n－1)×2
n＋1
－
nn＋
2
＋6.
(3)∵当n∈N时，bn＋1－bn＝(n＋1)(3×2－1)＞0，
∴{bn}为递增数列，又∵b1＝5，b2＝27，b3＝96， ∴使bn<30成立，n的最大值为2.