发布时间 : 星期三 文章（word完整版）数列知识点总结及题型归纳，推荐文档更新完毕开始阅读
数列
一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，……，an，……，简记作 ?an?。
（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：1，，，，… 说明：
①?an?表示数列，an表示数列中的第n项，an= f?n?表示数列的通项公式；
11112345??1,n?2k?1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (?1)=?(k?Z)；
?1,n?2k?n ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示：
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N?（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1
开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),……，f(n)，……．通常用an来代替f?n?，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…
(n?1)?S（5）数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an??1
S?S(n≥2)n?1?n二、等差数列
(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为
an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)
例：等差数列an?2n?1，an?an?1? (二)、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；
说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d?0为递增数列，d?0为常数列，d?0 为递减数列。
，则a12等于（ ） 例：1.已知等差数列?an?中，a7?a9?16，a4?1A．15 B．30 C．31 D．64
2.{an}是首项a1?1，公差d?3的等差数列，如果an?2005，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670
3.等差数列an?2n?1,bn??2n?1，则an为 bn为 （填“递增数列”或
1
“递减数列”）
(三)、等差中项的概念：
定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A? a，A，b成等差数列?A?a?b 2a?b 即：2an?1?an?an?2 （2an?an?m?an?m） 2例：1．（全国I）设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13? （ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
(四)、等差数列的性质：
（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?an?amn?m(m?n)；
（4）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； (五)、等差数列的前n和的求和公式：Sn(a1?an)n(n?1)n?2?na11?2d?2n2?（ad1?2）n。(SAn2n??Bn(A,B为常数)??an?是等差数列 )
递推公式：S(a1?an)n(am?an?(m?1n?2?))n2 例：1.如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7? （A）14 （B）21 （C）28 （D）35
2.（湖南卷文）设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3.（全国卷Ⅰ） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 5.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? 6.（全国卷Ⅱ）设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则
S9S? 57.已知?an?数列是等差数列，a10?10，其前10项的和S10?70，则其公差d等于( )
A．?2B．?1133 C.3 D.23
8.（陕西卷文）设等差数列
?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an?
2
）
Sn9．（全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的
n前n项和，求Tn。
(六).对于一个等差数列：
S奇a?n； S偶an?1Sn（2）若项数为奇数，设共有2n?1项，则①S奇?S偶?an?a中；②奇?。
S偶n?1（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶?S奇?nd； ②
1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________
2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d
3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是25，则它的首项与公差分别是_______
2(七).对与一个等差数列，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列。
例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。
3．已知等差数列?an?的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列?an?的前n项和，S4?14，S10?S7?30，则S9= 5．（全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若
S31S＝，则6＝ S63S12D．
A．
113 B． C．
38101 9(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：
an?1?an?d(常数）（n?N?）??an?是等差数列
②中项法：
2an?1?an?an?2③通项公式法：
（n?N?)??an?是等差数列
an?kn?b(k,b为常数)??an?是等差数列
(A,B为常数)??an?是等差数列
④前n项和公式法：
Sn?An2?Bn例：1.已知数列{an}满足an?an?1?2，则数列{an}为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}的通项为an?2n?5，则数列{an}为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
23.已知一个数列{an}的前n项和sn?2n?4，则数列{an}为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
24.已知一个数列{an}的前n项和sn?2n，则数列{an}为（ ）
3
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列{an}满足an?2?2an?1?an?0，则数列{an}为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6.数列?an?满足a1=8，a4?2，且an?2?2an?1?an?0 （n?N?） ①求数列?an?的通项公式；
2
7．（天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n，则{an}是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 (九).数列最值
（1）a1?0，d?0时，Sn有最大值；a1?0，d?0时，Sn有最小值；
2（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值；
可用二次函数最值的求法（n?N?）；②或者求出?an?中的正、负分界项，即： 若已知an，则Sn最值时n的值（n?N?）可如下确定??an?0?an?0或?。
a?0a?0?n?1?n?1 例：1．等差数列?an?中，a1?0，S9?S12，则前 项的和最大。
2．设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知 a3?12，S12?0，S13?0 ①求出公差d的范围，
?，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，
3．（上海）设｛an｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是．．（ ）
A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 4．已知数列?an?的通项
D.S6与
*
S7均为Sn的最大值
n?98n?99（n?N?），则数列?an?的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知{an}是等差数列，其中a1?31，公差d??8。 （1）数列{an}从哪一项开始小于0？
（2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．
(n?1)?S1(十).利用an??求通项．
S?S(n?2)n?1?n4