发布时间 : 星期三 文章2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题19 坐标系与参数方程更新完毕开始阅读
专题十九 坐标系与参数方程
?1?t2x?，??1?t2（2019·全国Ⅰ文科）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数），
?y?4t?1?t2?以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．
【解析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
21?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????【解】：（1）因为?1???1，所以C的直角坐222?21?t?2??1?t??1?t?22y2?1(x??1). 标方程为x?42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.
（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）.
?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为.
77当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.
3?3?【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
O为极点，（2019·全国Ⅱ文科）在极坐标系中，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
（1）当?0=?3时，求?0及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 【解析】（1）先由题意，将?0=?3代入??4sin?即可求出?0；根据题意求出直线l的直
角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.
【解】：（1）因为M??0,?0?在C上，当?0?由已知得|OP|?|OA|cos??时，?0?4sin?23. 33??2. 3??????|OP|?2， 3?设Q(?,?)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中?cos???经检验，点P(2,)在曲线?cos????3??????2上. 3?所以，l的极坐标方程为?cos?????????2. 3?（2）设P(?,?)，在Rt△OAP中，|OP|?|OA|cos??4cos?, 即 ??4cos?.. 因为P在线段OM上，且AP?OM，故?的取值范围是?,?.
?42?所以，P点轨迹的极坐标方程为??4cos?,???,? .
42【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
??????????A(2,0)，B(2,)，C(2,（2019·全国Ⅲ文科）如图，在极坐标系Ox中，
弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,?4??D(2,?)，)，4?2)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线
M2是弧BC，曲线M3是弧CD.
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|?3，求P的极坐标. 【解析】 (1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中?的取值范围. (2)根据条件??3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.
【解】：（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，
??2sin?，???2cos?.
所以M1的极坐标方程为??2cos??0?????π??，M2的极坐标方程为4???2sin??3π??π?3π?M??????2cos????π?. ，的极坐标方程为3??4??4?4?（2）设P(?,?)，由题设及（1）知
ππ
，则2cos??3，解得??； 46
π3ππ2π若???，则2sin??3，解得??或??； 44333π5π若. ???π，则?2cos??3，解得??46若0???综上，P的极坐标为?3,??π??π??2π??5π?3,3,3,或或或???????. 6?6??3??3??【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题. (2018北京)在极坐标系中，直线=___．
【答案】1?2 【解析】利用x??cos?，y??sin?，可得直线的方程为x?y?a?0，圆的方程为
?cos???sin??a(a?0)与圆?=2cos?相切，则a(x?1)2?y2?1，所以圆心(1,0)，半径r?1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离
等于半径，即
|1?a|?1，∴a?1?2或1?2，又a?0，∴a?1?2． 2(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0． (1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
22【解析】(1)由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．
2(2)由(1)知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与
C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两
个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以
|?k?2|k?12?2，故
4k??或k?0．
3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以
4时，l1与C2只有一个公共点，l23|k?2|k?12?2，故
k?0或k?4． 34时，l2与C2没有公共点． 3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?综上，所求C1的方程为y??4|x|?2． 3