发布时间 : 星期一 文章2020届高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量专题7.7利用空间向量求夹角与距离距离供选用练习含解析更新完毕开始阅读
法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－
xyz，
设DA＝1，由已知条件得
A(1，0，0)，E?1，1，?，
F?0，1，?，AE＝?0，1，?，AF＝?－1，1，?，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ， 1y＋z＝0，→?3?n·AE＝0，
由?得
→2??n·AF＝0，－x＋y＋z＝0.
3
??
1?3?
??
2?→3?
??
1?→?3??2?
3?
?????
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1，1，－3)， 取平面ABC的法向量为m＝(0，0，－1)，
3112
则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝，tan θ＝.
113三、解答题
9.(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
【答案】见解析
【解析】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，
OO1⊥OB，以{OB，OC，OO1}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
因为AB＝AA1＝2，
所以A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，
→→→
B1(3，0，2)，C1(0，1，2).
(1)因为P为A1B1的中点，所以P?
1??3
，－，2?，
2??2
17
31?→→?
从而BP＝?－，－，2?，AC1＝(0，2，2)，
2??2→→|BP·AC1||－1＋4|310→→
故|cos〈BP，AC1〉|＝＝＝.
→→205×22|BP|·|AC1|310
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
20(2)因为Q为BC的中点，所以Q?
?31?
，，0?， ?22?
→?33?→→
因此AQ＝?，，0?，AC1＝(0，2，2)，CC1＝(0，0，2).
?22?设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量， →?33??AQ·n＝0，?x＋y＝0，
2则?即?2
→??AC1·n＝0，??2y＋2z＝0.不妨取n＝(3，－1，1).
设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，
→
|CC1·n|25
则sin θ＝|cos〈CC1，n〉|＝＝＝，
→5×25|CC1|·|n|
→
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为
5
. 5
10. (2018·河北五校联考)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.
(1)求证：A1C1⊥B1C；
(2)(一题多解)求二面角B1－A1C－C1的正弦值. 【答案】见解析
【解析】(1)证明 如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，
∵C1C＝A1A＝A1C， ∴CD⊥A1C1，
∵底面△ABC是边长为2的正三角形， ∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2， ∴B1D⊥A1C1，
18
又B1D∩CD＝D，B1D?平面B1CD，CD?平面B1CD， ∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.
(2)解 法一 如图，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E. ∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，
∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1， 侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1， ∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C， ∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C， ∴∠B1ED为所求二面角的平面角. ∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝3，
12B1D3
又ED＝CC1＝，∴tan ∠B1ED＝＝＝6，
22ED2
2∴sin ∠B1ED＝
42. 7
42. 7
∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为
法二 如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(3，0，0)，A1(0，0，1)，B1(3，1，1)，C1(0，2，1)，C(0，1，0)，
→→
∴A1B1＝(3，1，0)，A1C＝(0，1，－1). 设m＝(x，y，z)为平面A1B1C的法向量， →??m·A1B1＝3x＋y＝0，
∴?
→??m·A1C＝y－z＝0，
令y＝3，得m＝(－1，3，3)，
→
又OB＝(3，0，0)为平面A1CC1的一个法向量， →m·OB7→
∴cos 〈m，OB〉＝＝－，
→7|m||OB|由图易知所求二面角为锐角， ∴二面角B1－A1C－C1的正弦值为
42. 7
19
【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.(2019·长沙雅礼中学检测)在三棱锥P－ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是( ) A.3
3 4
B.2
3 5
8C.－3
13
5D.－3
8
【答案】 C
【解析】 如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.
依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.
不妨设等边△ABC的边长为2，则PH＝2，AH＝BH＝1. ∴HE＝
3324，HF＝，则tan α＝tan β＝＝， 2233
2
2×
4
32tan α8
故tan(α＋β)＝＝＝－ 3. 2
1－tanα213
?4?1－???3?
12.(2019·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A.5 5
B.5 3
C.25
5
3D. 5
【答案】 A
【解析】 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
→→
∴BC1＝(0，2，－1)，AB1＝(－2，2，1)， ∴cos〈BC1，AB1〉＝
→
→
4－115＝＝＝＞0.
→→5×955|BC1||AB1|
BC1·AB1
→→
→→
∴BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角， ∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为
5. 5
20