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高中物理竞赛电学教程 第四讲 电磁感应
??1?312aB2。
?t12T。 故感应电动势的平均值为
由楞次定律，感应电流方向为A—B—C—A，故平均电流强度为正值，即
????1?3aB2?t2?T2，
??2?312a2B。 ?223aB感应电动势的平均值为
I2?R?6RT。
T细致分析可知，从t=0到6过程中，磁通量减小，感应电流沿A—B—C
TT—A方向，电流强度取正值；从6到3过程中，磁通量增加，感应电流沿AT—B—C—A方向，电流强度取负值；故从t=0到3过程中，平均电流强度为
TT零。从3到2时间内，平均电流强度为I2??I1。 T12从t=0到2时间内，平均电流强度
I2?3I?1aB2?3I1?36RT。
§4．3 动生电磁感应
导体在磁场中做切割线运动，在导体两端产生感生电动势的现象叫动生
电磁感应。
?其一是B不变，a不变，但电路的一部分切割磁力线运动使得回路面积改变，从而使得?变；B?
其二是、S不变，但a?变，即回路在磁场中转动，
使得回路所包围的面与B的夹角改变，从而使得?变。
产生原因：
动生电磁感应的产生是由于洛仑兹力的作用。导体ab在磁场B中做垂直于磁力线的运动，速度图4-3-1为v，导体长度为L。由于导体中所有自由电子也随着导体一起以v向右运动，因此受到洛仑兹力
F洛?，这样就使导体的b端积累了负电荷，a端积累了正电荷，
形成了感生电场(图4-3-1)。这种自由电子的定向移动一直要进行到洛仑兹力和感生电场的电场力相互平衡为止，即
evB??abLe， ?ab?BLv。
B C
图A 4-2-8
a + + + + _ vL
B F _ _
_ _ b
图
4-3-1
ab ? v
图4-3-2
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4．3．1、导体平动切割 ??BLv
其中L是ab的长度，v是ab的速度。这里满足v?L、v?B、B?L。 若v方向与磁场B方向存在夹角θ，如图4-3-1所示，则电动势为 ??BLvsin?
如果切割磁场的导线并非直线，而是一段弯曲导线，如图4-3-3所示：则其电动势大小应等效于连在AB间直导线切割磁场时电动势的大小。即： ?AB??AB
如图4-3-4所示，一根被弯成半径为R=10cm的半圆形导线，在磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中以速度v=6m/s沿ac方向向右移动，磁场的方向垂直图面向里。 A 1、导线上a、b两点的电势差，指出哪一点电势高。
v 2、求导线上a、c两点的电势差。
解: B 1、a、b两点的电势差 ??Blvsin??1.5?10?6?0.9(V)
图4-3-3 b点的电势高 2、a、c两点间的电势差为0。
4．3．2、导体转动切割
一般是来要用积分的方法才能求出整根导体上的动生电动势，但有些特殊情况还是可以用初等数学来解。比如图4-3-5所示的金属杆AB绕O轴在磁场中匀速转动，因为杆上各点的线速度是均匀变化的，所以可用平均速度来求电动势。OB之间的动生电动势
b 2BO1 ?BO?B???BO?B?BO22
OA之间的动电动势 c a O v 2AO1 ?AO?B???AO?B?AO 22
所以
?AB??AO??BO?12B?AO?2?BO2?。
B 图B 4-3-4
O ? A 此类问题也可这样分析
如图4-3-5所示，匀强磁场中一段导体棒AB垂直于磁场放置，当导体棒A点在垂直于磁场平面以角速度?旋转时，AB中同样会产生电动势，确定其电动势大小，可假想存在一个ABC回路，在?t时间，AB转过??????t，回路磁通量变化
???B??S?B2L???2A
?
图4-3-5
B 图4-3-5
B
A 由法拉第电磁感应定律
??B2?????L?t2?t ??12B?L2?? ?
C ? ?
n
图4-3-5
B
动生电动势可用来发电。
图4-3-6
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例如，如图4-3-6所示，在匀强磁场B中，矩形线圈以角速度?绕线圈的中央轴旋转，当线圈平面的法线方向n与磁感应强度B的夹角为?时，线圈中的感应电动势为
??BS?sin?
式中S是线圈的面积。若线圈以?作匀角速旋转，且t=0时，???0，
则有???0sin??t??0?,式中?0?BS?。
可见?随时间简谐式的变化，这就是交流发电机的基本工作原理。 4．3．3、典型例题
例1. 如图4-3-7所示,OC为一绝缘杆，C端固定一金属细杆MN，已知
。
MC=CN，MN=OC=R，∠MCO=60，此结构整体可绕O点在纸面内沿顺时针方向C ?以匀角速度转动，设磁感强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在， ?则M、N两点间的电势差UMN=？
M 60
分析:因MN棒上各点切割磁感线的速度各不相同，故直接用公式
O ??Blvsin?不甚方便，考虑到UOM与UON极易求到，所以想到对本题进行适当变换。
解:连OM、ON构成一个三角形OMN，在转动过程中，因三角形回路中磁通量不变，故有
UMN?UNON
图4-3-7
?UOM?0，
34R?7838B?R22且
UNOUOM?B??B?U32R???74MO，
72R???R??3B?R2，
7B?R2882所以
说明求感应电动势时，经常会用到各种等效替换，如有效长度的等效替换，切割速度的等效替换及像本题中的线面变换(即将面分割成线、连线构成面)等。
例2.一边长为l的正方形线圈(线圈的横截面积为S，电阻率为ρ)，以匀速v通过均匀磁成45。
夹角，如图4-3-8所示。磁场区域的宽为a，高为b。
MN?UON?UB?R???1B?R2(1)若b??l，a＞l，问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热？ (2)如b??l，a＜l，问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热？ 分析:把速度v正交分解成v∥与v⊥(v∥平行于磁场上边界a，v⊥垂直于上边界a)，并注意到线圈的感应电动势等于各边电动势时代数和。
解: (1)当b??l，a＞l时，放出的焦耳热为 Q?E2b??l a?l
Rt
?l lS,t?2lvcos45
22BlvS?a 45 ?
E?Blvcos45,R?4?B Q??Blvcos45??24?lS?2lvcos45? ?v b
22?
(2)b??l，a＜l时，放出的焦耳热为 Q?E2图4-3-8
Rt
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E?Blvcos45,R?4??lS,t?2avcos45
? 22? ?3例3.如图4-3-9(a)所示，有一匀强磁场，磁感应强度B?2.0?10T，O 在垂直于磁场的平面内有一金属棒PQ绕平行于磁场的O轴作逆时针转动。P 已知棒长L=0.06m，O轴与P端相距l/3。棒的转速n是2.0r/s。
1、求棒中的感应电动势。
图4-3-9（a）
2、P、Q两端中哪一端的电势高？为什么？
解: 1、设金属棒PQ在△t时间内绕O轴转过的角度为θ（图4-3-9(b)），则θ=2πn△t。
4?l/Svcos45?S?12Q??Blvcos45??2?2a??BlvSa2w Q 由扇面形面积公式
2R?2可算出OQ段和OP段在△t时间内扫过的面积?S1使?S2：
1?2??S1??l??2?n?t2?3?
1?1??S2??l??2?n?t2?3?
由上列两式和???B??S可进一步算出OQ段和OP段在△t时间内切割
2?S1 w P O 2Q 的磁感应线??1和??2
42??1?B??S1??Bln?t9 12??2?B??S2??Bln?t9
根据法拉第电磁感应定律，可算出在OQ和OP段的感应电动势?1和?2的数值
??1?t??2?t ?S
图4-3-9（b）
?1???2??4919?Bln?Bln22
y ? x
B
根据右手定则可确定，?1的方向由Q指向O，?2的方向由P指向O，两者方向相反，因此，金属棒PQ中的感应电动势为
12???1??2??Bln3
?13?3.14?2.0?10?3?8Q
P
z
图4-3-10
x
2??0.6??2.0
y?1.5?10?V?
?
? 其方向由Q向P。
如图4-3-10所示的直角坐标中，有一绝缘圆锥体，半锥角为θ,轴线沿z轴方向，顶点在原点处。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，与圆锥体的一条母线重合，空间存在着沿正x方向的匀强磁场B。试讨论当圆锥体如图所示方向做角速度为ω的匀角速转动时，OP上感生电动势的情
B ? Q S w z P 图4-3-11