发布时间 : 星期日 文章十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题15 推理与证明 (含解析)更新完毕开始阅读
所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1. 因此0 xnxn+1-4xn+1+2xn= -2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1). 记函数f(x)=x-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0), 2x2+x f'(x)=+ln(1+x)>0(x>0), x+12 * 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以f(x)≥f(0)=0, 2 因此xn+1-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0, 故2xn+1-xn≤ xnxn+1* (n∈N). 2 (3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1, 所以xn≥由 12n-1. ?2≥2(x-2)>0, n n-1 xnxn+11 ≥2xn+1-xn得2xn+1 1 1 1 1 111 所以x?2≥2(x-2)≥…≥2(x-2)=2, nn-11故xn≤综上, 112n-211 n-2 . 1 * 2 n-1≤xn≤n-2(n∈N 2 ). 2a,a≤18,* 22.(2015·北京·理T20)已知数列{an}满足:a1∈N,a1≤36,且an+1={nn(n=1,2,…).记集合 2an-36,an>18M={an|n∈N}. (1)若a1=6,写出集合M的所有元素; (2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M的元素个数的最大值. 【解析】(1)6,12,24. (2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数. 2a,a≤18, 由an+1={nn可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数. 2an-36,an>18如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数. 如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数,从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数. * 综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数. 2a,a≤18, (3)由a1≤36,an={n-1n-1可归纳证明an≤36(n=2,3,…). 2an-1-36,an-1>182a,a≤18, 因为a1是正整数,a2={11 2a1-36,a1>18,所以a2是2的倍数. 从而当n≥3时,an是4的倍数. 如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数. 因此当n≥3时,an∈{12,24,36}. 这时M的元素个数不超过5. 如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数. 因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32}. 这时M的元素个数不超过8. 当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M的元素个数的最大值为8. 23.(2014·重庆·理T22)设a1=1,an+1=√a2n-2an+2+b(n∈N). * (1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式; (2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n 从而{(an-1)}是首项为0、公差为1的等差数列, 故(an-1)=n-1, 即an=√n-1+1(n∈N). 2 (2)设f(x)=√(x-1)+1-1, * 2 2 2 2 * 则an+1=f(an). 2 令c=f(c),即c=√(c-1)+1-1, 解得c=4. 下用数学归纳法证明加强命题a2n 1 1 假设n=k时结论成立,即a2k 再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c) 综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=4. 1