发布时间 : 星期五 文章2019华东师大初中数学九年级下册二次函数的概念—知识讲解(基础)更新完毕开始阅读
二次函数的概念—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念； 2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法； 3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围； 4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【要点梳理】 要点一、函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释：
对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；
（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.
要点二、函数的三种表示方法
表示函数的方法，常见的有以下三种：
（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.
（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
对照表如下：
表示方法 列表法 解析式法 图象法 全面性 准确性 × ∨ × ∨ ∨ × 直观性 ∨ × ∨ 形象性 × × ∨ 要点三、二次函数的概念 2
一般地，形如y=ax+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
222
若b=0，则y=ax+c； 若c=0，则y=ax+bx； 若b=c=0，则y=ax.以上三种形式都是二次函数的特
2
殊形式，而y=ax+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 要点诠释：
2
如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零． 【典型例题】
类型一、函数的相关概念
1、（2016?南宁）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D. 【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案． 【答案】 D；
【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确． 【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应． 举一反三：
【变式】下列等式中，y是x的函数有（ ）个.
22 3x?2y?0,x?y?1,y?x,y?|x|,x?|y|
A.1 B.2 C.3 D.4
22x?y?1, 当x取2时，【答案】C；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于
y有两个值±3与它对应，对于x?|y|，当x取2时，y有两个值±2和它对应，所以这两个式子不
满足函数定义的要求：y都有惟一确定的值与x对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.
2、求出下列函数中自变量x的取值范围. （1）．y?x?x?5
2（2）．y?4x 2x?3（3）．y?2x?3
（4）．y?x 2x?1（5）．y?31?2x （6）．y?x?3 x?2【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】
解：（1）．y?x?x?5 ，x为任何实数，函数都有意义；
24x3，要使函数有意义，需2x－3≠0，即x≠； 2x?323（3）．y?2x?3，要使函数有意义，需2x＋3≥0，即x??；
2（2）．y?（4）．y?x1，要使函数有意义，需2x－1＞0，即x?；
22x?1（5）．y?31?2x，x为任何实数，函数都有意义； （6）．y??x?3?0x?3，要使函数有意义，需?，即x≥－3且x≠－2. x?2?x?2?0【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.
3、若y与x的关系式为y?-x+4x+5，当x＝2时，y的值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拨】把x?2代入关系式即可求得函数值. 【答案】B；
【解析】y??2?4?2?5?9.
【总结升华】y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.
22类型二、函数的三种表示方法
4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时 y/米 0 10 1 10．05 2 10．10 3 4 5 10．25 … … 10．15 10．20 (1)由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t?（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】
解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，?这样的规律可以表示为：
y=0.05t+10（0≤t≤5）
这个函数的图象如下图所示：
(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数． 答：2小时后，预计水位高10.35米．
【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、二次函数的概念
5、当常数m≠ 时，函数y=（m﹣2m﹣8）x+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．
【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.
【答案与解析】解：由函数y=（m﹣2m﹣8）x+（m+2）x+2是二次函数，得 2
m﹣2m﹣8m≠0． 解得m≠4，m≠﹣2，
由y=（m﹣2m﹣8）x+（m+2）x+2是一次函数，得
，
解得m=4，
故答案为：4，﹣2；4．
【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零． 举一反三：
【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )
2 A.y?2?x B.y?x?222
22
22
1223 C.y?(x?2)?x D.y?x?2x?1 x【答案】A 【变式2】若函数
【答案与解析】解：若函数
是二次函数，则m的值是 ．
是二次函数，