发布时间 : 星期三 文章[第11讲]数论的灵魂（整除问题）作业更新完毕开始阅读
数论的灵魂(整除问题)
一、数的整除之四大判断法： 1．2系列：
被2整除只需看末位能否被2整除； 被4整除只需看末两位能否被4整除；
被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推；
以四位数abcd为例，四位数abcd=1000×a+100×b+10c+d。10、100、1000都是2的倍数，只需d也是2的倍数即可。 2．3系列：
被3整除只需看各位数字之和能否被3整除； 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除；
以3为例，abcd=1000×a+100×b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d。999、99、9均为3的倍数。只需要a+b+c+d是3的倍数即可。
从中我们还发现，数字之和除以3余几，则原数除以3余几。9依次类推。 3．5系列：
被5整除只需看末位是否为0或5
被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75． 被125整除的特征依次类推看末三位。 4．7、11、13系列： 通用
⑴一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除。比如201201=201×1001，则其必然能被7、11、13整除；
⑵从末三位开始，三位一段，奇数数之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数；
⑶末三位一段，前面均为一段，用较大的减去较小的，如果为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数； 合数的整除特征：
判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。
二、数的整除的性质：
⑴传递性:若c|b，b|a，则c|a；
|a?b）⑵可加性:若c|a，c|b，则c（。
三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小(一般为最大)。当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。
四、数的整除的代数表示方法：对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决．这些常用的形式有：
A?anan?1?a1a0?an?10n?an?1?10n?1??a1?10?a0；
1．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数． ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？
2．⑴从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？
⑵从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？
3．(第2届华杯赛初赛第14题)用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
4．右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方
格中的数。比如a=5×10=50，b=5×12=60。那么c方格内所填的自然数的末尾有___个连续的0。
101214165a10152025c
5．右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个数填完后，
再依次填第三、四、五排，第五排中的数A的末尾共有多少个0？
1215202529bA
6．(2008年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？
?99的倍数n为奇数时7．试证明n位原序数与n位反序数的差一定是?
9的倍数n为偶数时?(如：12365为原序数，那么它对应的反序数为56321，它们的差43956是99的倍数.)
8．如图，把1～9这9个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(比如在7和8之间剪开，就形成了826543197和791345628这两个九位数)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么可以从哪两个数字之间剪开？
872691
9．对怎样的最小值n，数122?221?9整除？ ?????被99???n个29个9534
10．一个19位数77????77?444????44能被13整除，求О内的数字． ????????9个9个
11．(第7届希望杯培训试题)在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19
整除，那么方框中的两位数是多少？
12．(2009年迎春杯五年级初赛第8题)
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是 。
13．(2009年学而思五升六竞赛班选拔考试第20题)把数字1到9各使用一次，组成一个被555667整
除的9位数，这个9位数是 。
14．如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的前两位
的最大值是 。
15．已知ABABA能被22整除，B-A的最大值为 . 16．(2010年“数学解题能力展示”五年级初赛)已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积(即
abcba?45?deed)，那么这个五位回文数最大的可能值是_____.
17．已知：23!?258D20C67388849766AB000．则DCB?A? 。
18．(2009年迎春杯高年级复赛试题第15题)
老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，?31。如果有两位同学的编号的乘积是它们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”。从这31位同学中至少需要选出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”。
19．对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30。那么在1，
2，......，16这16个整数中，有好数多少对？
20．(2004年希望杯第二届五年级二试第4题，6分)若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是 。
21．三位数中能被11整除，且数字之和为11的有( )个。
22．把30个自然数1，2，3，?30乘到一起，那么这个乘积的末尾会有( )个0。
23．要使26abcd2能被36整除，而且所得的商最小，那么a、b、c、d的和是( )。
24．刘叔叔给18名工人发完工资后，把总钱数写在一张纸上，可是由于他吸烟不小心，火星落在纸上，
把这笔帐的总数烧去两个数字，978每名工人的工资最高可能是( )。
25．(全国小学数学奥林匹克)如果20052005?200501?????????能被11整除，那么n的最小值是 。
n个2005，刘叔叔记得每名工人的工资都一样，而且都是整数元，
26．把三位数3ab接连重复写下去，共写1993个3ab，所得的数3试求ab?？ ab3ab?3?ab恰是91的倍数，??????1993个3ab
答案
1．一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4?□?3?2?□是9的倍数，而4?3?2?9,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．
⑴依次填入3、6，因为4?3?3?2?6?18是9的倍数，所以43326是9的倍数；
⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是(9,0)；(8,1)；(7,2)；(6,3)；(5,4)；(4,5)；(3,6)；(2,7)；(1,8)；(0,9)，共10种情况，还有(0,0)和(9,9)，所以一共有12种不同的填法。
2．⑴第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的
⑵考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：(0000，1000，2000，3000)，(0001，1001，2001，3001)，(0002，1002，2002，3002)， …(0999，1999，2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数．
方法二、考虑个位，选法有10种；十位，选法有10种；百位选法有10种；选定之后个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个，1000-1=999.
3．用1、9、8、8可排成12个四位数，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891
它们减去8变为1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883。其中被11整除的仅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4个被1除余8的四位数，即1988，1889，8918，8819。
4．由于考虑的是c末尾有多少个连续的0，则只需考虑有多个5，有多少个2即可。 先考虑因数5，其累积如下图：
111112再考虑因数2，其累积过程如下图。
02502022347991625514305572151106
1201020
14412238591771633411276041542102