发布时间 : 星期一 文章大学物理第3章刚体定轴转动与角动量守恒剖析更新完毕开始阅读
33
第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律
在前几章质点运动中，我们忽略了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动代替了整个物体的运动。但是在实际物体运动中，不仅物体在大小和形状千差，而且运动又有平动和转动之别。这时我们需要另一个突出主要特征，忽视其次要因素，既具有大小又具有形状的理想模型——刚体。在受力的作用时，其形状和体积都不发生任何变化的物体，称做刚体。本章将介绍刚体所遵从的力学规律，重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似，因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。
§3-1 刚体定轴转动
1. 刚体运动的形式
刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。
平动的定义为，在刚体在运动过程中，刚体中任意两点的连线始终平行。如图5-1所示。由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的，因此描述刚体平动只需要描写刚体内一点的运动，也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就可以代表它整体的运动。
图3-1刚体的平动
转动的定义为，刚体运动时，刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。转轴可以是固定的，也可以是变化的。若转轴固定，称为刚体定轴转动。若转轴不固定，运动比较复杂。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。平动在前几章已经研究过，本章我们主要研究定轴转动。
2. 刚体的定轴转动
研究刚体绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动平面。由于描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一样的，因此描述刚体运动时用角量较为方便。因为刚体上各质元的半径不同，所以各质元的速度和加速度不相等。
角速度和角加速度一般情况下是矢量，由于刚体定轴转动时角速度和角加速度的方向沿转轴方向，因此可用带有“+、-”的标量表示角速度和角加速度。这种方法我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用带有“+、-”的标量表示速度和加速度。
角速度的大小为 ??图3-2 刚体定轴转动
d? （3-1） dt它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。
d?d2??2 （3-2） 角加速度为 ??dtdt它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。
离转轴的距离为r的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：v?r? （3-3） 其加速度和刚体的角加速度的关系为： at?r? （3-4） an?r? （3-5）
33
34
§3-2 刚体的转动动能 转动惯量
1 刚体的转动动能
刚体绕定轴转动时，刚体中各质元都绕定轴作圆周运动，因而都有动能，刚体的转动动能等于刚体中所有质元的动能之和，可表示为 Ek?式中，J??Eki?i1121222?mr????mr?J?2 （3-6） ??iiii2i22i2?mr?ii，为刚体对定轴的转动惯量，所以刚体绕定轴转动的动能 Ek?i1J?2 （3-6） 2即刚体绕定轴转动的动能等于刚体的转动惯量和角速度平方的乘积的一半。
质点的动能：Ek?121mv，刚体转动的动能：Ek?J?2；刚体定轴转动的动能与质点的动能表达形22式相似，刚体的转动惯量J是刚体绕定轴转动的惯性大小的度量，其在定轴转动中的地位与平动时质量m的地位相似，转动中的角速度ω与平动中的速度地位相似。
2. 刚体的转动惯量
从刚体定轴转动的动能可知，刚体的转动惯量J和质点的质量m相对应。质量m是物体平动惯性大小的量度，质量越大的，它的速度越不易改变。刚体的转动惯量J是物体转动惯性大小的量度。转动惯量J越大的，它的角速度越不易改变。
根据转动惯量的定义： J?2?mr?ii i转动惯量J等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。
对于质点连续分布的刚体，上述求和可以用定积分代替，即 J?r2dm （3-7）
?式中，r为刚体内任意质元dm到转轴的垂直距离。
转动惯量的物理意义:刚体对定轴的转动惯量等于刚体中各质元的质量和它们各自离该轴的垂直距离的平方的乘积的总和，它的大小不仅与刚体的总质量有关，而且和质量相对于轴的分别有关，其关系可概括如下
1) 形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大； 2) 刚体总质量相同，质量分布离轴越远，转动惯量越大； 3) 同一刚体，转轴不同，质量分布就不同，因而转动惯量就不同。 在国际单位制中，转动惯量的单位是千克·米2，符号为kg·m2。 例3-1一根质量为m、长为l的均匀细棒，绕通过棒的中心(质心)并与棒相垂直的转轴旋转，求细棒对转轴的转动惯量。
解：将棒的中点取为坐标原点，建立坐标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx，其质量为 dm?mdx l1l21?l2由式 J?r2dm 有 J??2?xdm1m3dx?xl3l?1ml2 12例3-2 求质量为m，半径为R，厚度极薄的均匀圆环的转动惯量。轴与
34
35
圆环平面垂直并通过其圆心，如图所示。
解：根据转动惯量的定义式，又因为环上各质元到轴的垂直距离为R，且都相等，所以
J??R2dm?R2?dm?mR2
由于转动惯量是可叠加的，所以一个质量为m，半径为R的薄圆筒对其轴的转动惯量也是mR。 2例3-3 求质量为m，半径为R，厚度为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与圆盘平面垂直并通过其圆心，如图所示。
解：根据转动惯量的定义式，又因为圆盘可以认为是由许多原环组成。取任一半径为r，宽为dr的薄圆环，其转动惯量为dJ?r2dm，式中dm为薄圆环的质量，以?表示圆盘的体密度，则dm??2?rldr，所以dJ?2?r3l?dr，故圆盘的转动惯量为 J??dJ?2?l?0?Rr3dr?12mR2 表2-2常见刚体的转动惯量
3. 平行轴定理
35
36
平行轴定理常用于求转动惯量。可以证明，如果刚体对过质心C的轴的转动惯量为JC，则对另一与此轴平行的任意轴的转动惯量为
J?JC?md2 (3-8)
其中m为刚体的质量，d为两平行轴之间的距离。这就是平行轴定理。由此可知，刚体对通过质心的轴的转动惯量JC最小，而对任何与过质心的轴平行的轴的转动惯量J都大于JC。
例3-4 一根质量为m、l的均匀细棒，绕通过棒的一端并与棒相垂直的转轴在旋转，求细棒对转轴的转动惯量．
解法1(定义法)：将棒的中点取为坐标原点，建立坐标系Oxy，取y轴为转轴，如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx，其质量为 dm?l图2-3平行轴定理
mdx lm1m31由式 J??rdm 有 J??xddx?x?ml2
l3l3022解法2(平行轴定理法)：将例题3-4看为例题5-1的转轴由质心向外平移了d?1l，根据平行轴定理 2J?JC?md2，则有 J?111ml2?m(l)2?ml2 1223利用平行轴定理不仅可以方便地计算转动惯量，而且对研究滚动问题也是大有帮助的。
§3-3 刚体定轴转动定律
在解决质点的运动问题时，牛顿第二定律F?ma非常有效，那么，如何解决刚体的运动问题呢？ 1. 力对定轴的力矩
日常生活经验告许我们，用同样大小的力推开门，当作用点靠近门轴时，不容易把门打开；当作用点远离门轴时，门就容易推开；当力的作用线通过门轴或力的方向和门轴平行时，就不能把门推开。实践表明，为了改变刚体原来的运动状态，必须对刚体施加作用力。外力对刚体转动的影响，不仅与作用力的大小有关，而且与力的方向和作用点的位置有关，即要改变刚体原来的运动
???
状态就必须考虑作用力的大小、方向和作用点三要素。为此，我们引入力矩M这一物理量。
如图所示，设转轴O垂直于刚体的转动平面，力F和作用点的矢径r都在平面内，力F与矢径r的夹角为?，我们定义作用力对转轴的力矩为 M?r?F (3-9) 力矩的大小为 M?rFsin??Frsin? (3-10) 令rsin??d，则d是转轴O与作用力线间的垂直距离，称为力臂。
力矩方向用右手螺旋法则确定：伸出手掌，四指先指向矢径r方向，沿小于180度转向作用力F的方向，则拇指所指方向就是力矩M的方向。如图3-29所示。
如果外力F不在垂直转轴的平面内，可将F分解为两个分力，一个分力在垂直于转轴的平面内，另一个分力与转轴平行，对刚体的转动不起作用。当刚体同时受到几个力矩作用时，合力矩等于各个力矩的代数
36
图3-5 力矩