发布时间 : 星期二 文章小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解更新完毕开始阅读
ADADOO
BEC
AOBBEC【解析】 解法一：连接DE，依题意S则SAOD11??BO?AO??9?AO?54，所以AO?12， 22
11??DO?AO??16?12?96． 2213又因为SAOB?SDOE?54??16?OE，所以OE?6，
241133得SBOE??BO?EO??9?6?30，
224835所以SOECD?SBDC?SBOE?SABD?SBOE??54?96??30?119．
8816 解法二：由于SAOD:SAOB?OD:OB?16:9，所以SAOD?54??96，而SDOE?SAOB?54，根据
93蝴蝶定理，SBOE?SAOD?SAOB?SDOE，所以SBOE?54?54?96?30，
835所以SOECD?SBDC?SBOE?SABD?SBOE??54?96??30?119．
88
【例 23】 如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形
DEFG的面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？
DKBEAGDKAG
【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，?BDK和
11而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC面积的那么?BDK?ACK的面积是相等的．?，
1?341的面积也是?ABC面积的．
4由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且
FCBEMFCAM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正
方形DEFG的面积相等，为48．
1那么?BDK的面积为48??12．
4
【例 24】 如图所示，ABCD是梯形，?ADE面积是1.8，?ABF的面积是9，?BCF的面积是27．那么阴
影?AEC面积是多少？
4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 13 of 17
AEFD
【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到S?AFB?S?DFC?S?AFD?S?BFC，而S?AFB?S?DFC(等积变换)，所以可得
S?S?CDF9?9S?AFD??AFB??3，
S?BFC27并且S?AEF?S?ADF?S?AED?3?1.8?1.2，而S?AFB:S?BFC?AF:FC?9:27?1:3， 所以阴影?AEC的面积是：S?AEC?S?AEF?4?1.2?4?4.8．
【例 25】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
2124421BC
【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把
88六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积?6?．
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【例 26】 如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分
组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？
2A③①④F⑥②⑤B
【解析】 因为E是DC中点，F为AC中点，有AD?2FE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形
②×⑤=③×④，②：⑤=AD2： FE2=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6?(4?1)?2，ADEF中有③=④，
②=⑤?4?8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8?4?4?2?18．有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，
444即为1:4．所以ADC面积为梯形ADEF面积的=，即为18??24．因为D是BC中点，所以
4-133ABD与ADC的面积相等，而ABC的面积为ABD、ADC的面积和，即为24?24?48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．
【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，
现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．
DEC4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 14 of 17
【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定
理来解决一般情况．
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6?1.5?2?4?2?2?22，阴影部分的面积为6?6?22?14．
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:6?1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之
9比为12:1?3:1?3:32?1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面
1677积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为
16167?(62?22)?14． 16
【例 28】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连接BF、
DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为
S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．
AQDFAQDFMGNMGN 【解析】 连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，则CE?CF?2，BE?DF?1，所以，EF2?22?22?8，
BD2?32?32?18．因为EF2?BD2?8?18?144?122，所以EF?BD?12．由梯形蝴蝶定理，得S△GEF:S△GBD:S△DGF:SnBGE?EF2:BD2:EF?BD:EF?BD?8:18:12:12?4:9:6:6，
BEPCBEPC669S梯形BDFE?S梯形BDFE．因为S△BCD?3?3?2?，S△CEF?2?2?2?2，
4?9?6?62525653所以S梯形BDFE?S△BCD?S△CEF?，所以，S△BGE???．
225253669由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN??2?1?，ND?3??，
5555所以AM:CN?DN:CN?3:2，则S1:S2?AM2:CN2?9:4． 所以，S△BGE?
【例 29】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，
已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．
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AEMBFEAMBFNDCDNC
【解析】 连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小
三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积．
13设梯形ABCD的上底为a，总面积为S．则下底为2a，EF??a?2a??a．
2233所以AB:EF?a:a?2:3，EF:DC?a:2a?3:4．
22由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以
3??3??S梯形ABFE:S梯形EFCD??AB?EF?:?EF?DC???a?a?:?a?2a??5:7，
2??2??57故S梯形ABFE?S，S梯形EFCD?S．
1212根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以
9953SEMF?S梯形ABFE??S?S；
4?6?6?92512209973同理可得SENF?S梯形EFCD??S?S，
9?12?12?16491228339所以SEMFN?SEMF?SENF?S?S?S，由于SEMFN?54平方厘米，
2028359所以S?54??210(平方厘米)．
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【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、
H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简
m分数，那么，(m?n)的值等于 ．
nAHDAHDEGEG
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面
积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M． 左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的
BFCBFC1，所以三角形AMD的面积为411112???．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为
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