发布时间 : 星期四 文章创新设计(全国通用)高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第2讲 函数的单调性与最大(更新完毕开始阅读
第二章 函数概念与基本初等函数I 第2讲 函数的单调性与最大
（小）值练习 理 北师大版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( ) A.－2
B.2
C.－6
D.6
解析 由图像易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－
226. 答案 C
2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) 1
A.y＝ 1－xC.y＝ln(x＋1)
B.y＝cos x D.y＝2
－xaa1
解析 ∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具
1－x?1?备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2＝??在(－1，1)上是减函数. ?2?
－xx答案 D
3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a B.1 C.6 D.12 2 2 解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1 ∵f(x)＝x－2，f(x)＝x－2在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为f(2)＝2－2＝6. 答案 C 333 ?1?4.已知函数y＝f(x)的图像关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f?－?，b?2? ＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A.c B.b 1 ?1??5?解析 ∵函数图像关于x＝1对称，∴a＝f?－?＝f??，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递?2??2? 增， ?5?∴f(2) 答案 B 5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9] D.(0，8) 解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， x>0，?? 所以有?x－8>0，解得8 ??x（x－8）≤9， 答案 B 二、填空题 1，x>0，??2 6.(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝?0，x＝0，g(x)＝xf(x－1)，则函数g(x)的递减区间 ??－1，x<0，是________. x （x>1），?? 解析 由题意知g(x)＝?0 （x＝1）， ??－x2 （x<1）， 函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g(x)的减区间是[0，1). 答案 [0，1) 2 ?1?7.(2017·南昌调研)函数f(x)＝??－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________. ?3??1?解析 由于y＝??在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在 ?3? [－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案 3 ??－x＋4x，x≤4， 8.(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝?若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上 ?log2x，x>4.? 2 xx单调递增，则实数a的取值范围是________. 解析 作出函数f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足 a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 2 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题 11 9.已知函数f(x)＝－(a>0，x>0). ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； ?1??1?(2)若f(x)在?，2?上的值域是?，2?，求a的值. ?2??2? (1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0， ?11??11?11x2－x1>0， ∵f(x2)－f(x1)＝?－?－?－?＝－＝?ax2??ax1?x1x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数. ?1??1??1?(2)解 ∵f(x)在?，2?上的值域是?，2?，又由(1)得f(x)在?，2?上是单调增函数， ?2??2??2? 2?1?1 ∴f??＝，f(2)＝2，易知a＝. 5?2?2 10.已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数). (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域； (2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值. 1?11?解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－?－? axx?x1x2? ＝(x1－x2)?2＋ ?? x1x2?? 1?. ∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0. ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以 f(x)的值域为(－∞，1]. (2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a； －a当a＜0时，f(x)＝2x＋， x当 －≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝12 a时取得最小值2－a； 3 当 －＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在?0，2? a? －?上单调递减，在? 2?? a?? －，1?上 2? a? 单调递增，无最大值，当x＝ －时取得最小值2－2a. 2 能力提升题组 (建议用时：20分钟) a11.(2017·郑州质检)若函数f(x)＝a(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为 xm，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝( ) A.4 B.2 1C. 2 1D. 4 1x2－1 解析 当a>1，则y＝a为增函数，有a＝4，a＝m，此时a＝2，m＝， 2此时g(x)＝－x在[0，＋∞)上为减函数，不合题意. 当0 有a＝4，a＝m，此时a＝，m＝. 416 31 此时g(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数.故a＝. 44答案 D 12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( ) A.[0，3] B.(1，3) D.(2－2，2＋2) 2 2 xx2 C.[2－2，2＋2] x解析 由题可知f(x)＝e－1>－1，g(x)＝－x＋4x－3＝－(x－2)＋1≤1， 若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]， 所以－b＋4b－3>－1，即b－4b＋2<0， 解得2－2 所以实数b的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D ??a，a≤b， 13.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x， ?b，a>b.? 2 2 则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. ??log2x，0 解析 依题意，h(x)＝? ?－x＋3，x>2.? 当0 4