发布时间 : 星期日 文章2019中考数学全国各地几何压轴题汇编更新完毕开始阅读
（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC， 由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE ∴∠EOC＝∠CON
∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180° ∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90° ∵OA⊥ME，CH⊥MN
∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ， ∴∠AOM+∠OMQ＝90° ∴∠CON＝∠OMQ ∵OC＝OA
∴△OCK≌△MOQ（AAS） ∴CK＝OQ＝HK
∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3 ∴OQ：MQ＝4：3 ∴设OQ＝4k，MQ＝3k， 则OM＝
＝
＝
＝5k，AB＝ME＝6k
＝5
k
在Rt△OAC中，AC＝
∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°， ∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45° ∴AF＝BF＝AB?cos∠ABF＝6k?cos45°＝3在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2 即：去）
∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5 ∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1， 在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°， ∴
＝tan∠RHK＝tan45°＝1
，解得：k1＝1，
（不符合题意，舍
k
∴RK＝HK＝4
∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1 ∵∠CON＝∠OMQ ∴OC∥ME ∴∠PGO＝∠HEM ∵∠EPM＝∠HEM ∴∠PGO＝∠EPM ∴OG＝OP＝OR＝1 ∴∠PGR＝90° 在Rt△HPK中，PH＝
＝
＝2
∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN ∴△POG∽△PHN ∴∴RG＝
，即
＝
，PG＝
＝
．
【点评】本题是有关圆的几何综合题，难度较大，综合性很强；主要考查了垂径定理，圆周角与圆心角，同圆中圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质，勾股定理及解直角三角形等．
（2019年黑龙江齐齐哈尔23题） 23．（12分）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②
（一）填一填，做一做：
（1）图②中，∠CMD＝ 75° ． 线段NF＝ 4﹣2 （2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④． （二）填一填
（3）图③中阴影部分的周长为 12 ．
（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝ 40 °． （5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有 4 对； （6）如图④点A′落在边ND上，若数式表示）．
【分析】（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，得出EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，由折叠的性质得出DN＝CD＝2DE，MN＝CM，得出∠EDN＝60°，得出∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝﹣2
；
DN＝2
，因此∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4＝，则
＝
（用含m，n的代
（2）证明△AEN≌△DEN得出AN＝DN，即可得出△AND是等边三角形；
（3）由折叠的性质得出A′G＝AG，A′H＝AH，得出图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝12；
（4）由折叠的性质得出∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，求出∠AGH＝50°，得出∠AHG＝∠A′HG＝70°，即可得出结果； （5）证明△NGM∽△A′NM∽△DNH，即可得出结论； （6）设
＝＝
＝＝a，则A'N＝am，A'D＝an，证明△A′GH∽△HA′D，得出，设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，得出＝
y，得出
＝
＝
＝
．
＝
，解得：x＝
【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，
∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，