发布时间 : 星期日 文章六年级奥数-第五讲 几何-立体部分 教师版更新完毕开始阅读
六年级奥数讲义 杰睿学校 数学VIP教师 冯宝石 电话：13121194356
【解析】 4?4?(1?2?3?4)?4?56(平方米)．
【例 11】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至
少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?
【解析】 切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个
数之比为13:12，而13?12?25，所以小正方体的总数是25的倍数，即m3是25的倍数，那么m是5的倍数．
当m?5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5?5?5?4?2?65个，表面没有红色的小正方体有 125?65?60个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m的最小值是5．
【例 12】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一
个4?4?4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小
正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(4?2)3?8(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正
方体有(4?2)2?6?24(个)，其中30?8?22个用黑色．
这样，在表面的4?4?6?96个1?1的正方形中，有22个是黑色，96?22?74(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．
【例 13】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续
的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【解析】 每个长方体的棱长和是288?3?96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96?4?24厘米．因为，
每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．
要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个8?7面，有8?7?56个；
涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8?7面，有8?7?2?112个；若两面相邻，应涂一个8?7面和一个9?7面，此时有7??8?9?2??105个，所以涂两面的最少有105个；
涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8?7面、一个9?7面，有7??8?8?9?4??147个；若三面两两相邻，有?7?1???8?1???7?1???9?1???8?1???9?1??146个，所以涂三面的最少有146个． 那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56?105?146?307个．
【例 14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上
红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？
【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一
种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．
当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100?a?b，那么分成的小正方体个数为
?a?2???b?2??1?ab?2?a?b??4?2?a?b??104，为了使小正方体的个数尽量少，应使?a?b?最小，
而两数之积一定，差越小积越小，所以当a?b?10时它们的和最小，此时共有 ?10?2???10?2??144个小正方体．
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当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是100?4?2?3?31．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令31?2?2?27，此时共有2?2?27?108个小正方体．
因为108?144，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．
【例 15】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有
公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所
以至多有两个面可以染成5个红色方格．
红红红红红红红红红红红
其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有5?2?4?2?2?2?22（个）．
（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值． 对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：
⑴ ⑵ ⑶ ⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色． ⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色． ⑶剩下6?3?3?8?3?9?2?12个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色．
综上所述，能被染成红色的方格最多能有8?8?6?22个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况．
【例 16】 一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，
然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:12?7:5:4，为了方便起见.我们先考虑长、宽、
高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.
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因为7?5?4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求．
那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：21?15?12??123?93?63??1107（立方厘米）.
31212121293129966669
【例 17】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标
A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.
【巩固】这个图形，是否能够由1?1?2的长方体搭构而成？ 【解析】 每一个1?1?2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，
白色积木有15块，所以该图形不能够由1?1?2的长方体搭构而成.
【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先
将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?
33232311322312323111
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【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．
543432321654543432765654543第一层第二层第三层上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数
之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(27?45)?3?216．
【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5?5?5的立方体，在一个方向上开有1?1?5的孔，在
另一个方向上开有2?1?5的孔，在第三个方向上开有3?1?5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
【解析】 求体积：
开了3?1?5的孔，挖去3?1?5?15，开了1?1?5的孔， 挖去1?1?5?1?4；开了2?1?5的孔， 挖去2?1?5?(2?2)?6，
剩余部分的体积是：5?5?5?(15?4?6)?100．
(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：
得到总体积为：22?4?12?100． 求表面积：
表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为5?5?6?12?138，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为2??2?5?1?5?1?2?1?3??20、
12???13?25?1?5?1?1?2??14，所以总的表面积为 2??1?5?3?5?1??3?、
?0?32?1 13?82．
(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数： 前后方向：32
上下方向：30 左右方向：40
112111121222222112111121112121221111112111222112222212212221122211212
总表面积为2??32?30?40??204．
【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条
线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！
【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其
中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？
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