发布时间 : 星期六 文章高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)解析几何 理(1)更新完毕开始阅读
H单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 14．、[2014·湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于
a＋b函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，2
即Mf(a，b)为a，b的算术平均数．
(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；
2ab(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.
a＋b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14．(1)x (2)x(或填(1)k1x；(2)k2x，其中k1，k2为正常数) [解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：
0－f（a）0＋f（b）
(1)依题意，c＝ab，则＝，
c－ac－b0－f（a）0＋f（b）即＝. ab－aab－b f（a）f（b）
因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝x(x>0)；
ab2ab0－f（a）0＋f（b） f（a）
(2)依题意，c＝，则＝，因为a>0，b>0，所以化简得
a＋b2ab2aba－a－ba＋ba＋bf（b）＝，故可以选择f(x)＝x(x>0)．
bx22
20．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F，点
aA，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图1-7
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：
x0x－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线a2
x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，
32|MF|
恒为定值，并求此定值． |NF|
2
20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a＋1.
c?11?c由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B?，－?.
2a?aa?21
又直线OA的方程为y＝x，
ac?c?－?－?ac?2a?3??则A?c，?，所以kAB＝＝.
ca?a?
c－
2
3?1?x222
又因为AB⊥OB，所以·?－?＝－1，解得a＝3，故双曲线C的方程为－y＝1.
a?a?3(2)由(1)知a＝3，则直线l的方程为
x0x3
－y0y＝1(y0≠0)，即y＝x0x－3
(y0≠0)． 3y0
?2x0－3?，直线l与直线x因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M?2，
3y0???
3
x0－3
332＝的交点为N，， 223y0
|MF|则2＝|NF|
2
（2x0－3）＝2＝ 29y902
?3x0－3?＋（x0－2）?2?441??＋24（3y0）
2
（2x0－3）
2（3y0）
2
2
4（2x0－3）·22. 33y0＋3（x0－2）
又P(x0，y0)是C上一点，则－y0＝1，
3
|MF|4（2x0－3）4（2x0－3）4|MF|223
代入上式得＝，所以＝＝，2＝·22＝·2
|NF|3x0－3＋3（x0－2）34x0－12x0＋93|NF|33为定值．
2
2
2
x20
2
x2y2
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点
ab与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
|TF|②当最小时，求点T的坐标．
|PQ|
?a2＋b2＝2b，
20．解：(1)由已知可得? 22
?2c＝2a－b＝4，
解得a＝6，b＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
62
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
2
2
x2y2
m－0
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
－3－（－2）
1
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
m当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
x＝my－2，??22
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得?xy
＋＝1.??62
消去x，得(m＋3)y－4my－2＝0，
22
其判别式Δ＝16m＋8(m＋3)>0. 所以y1＋y2＝
4m－2
，y1y2＝2， m＋3m＋3
22
2
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝2.
m＋3
设M为PQ的中点，则M点的坐标为?所以直线OM的斜率kOM＝－，
3又直线OT的斜率kOT＝－，
3所以点M在直线OT上， 因此OT平分线段PQ. ②由①可得，
|TF|＝m＋1，
22
|PQ|＝（x1－x2）＋（y1－y2）
22＝（m＋1）[（y1＋y2）－4y1y2] ＝
2－12
62m?－，2?2?. ?m＋3m＋3?
mm??4m?2－2?（m＋1）??2?－4·2?
m＋3???m＋3?
22
24（m＋1）
＝. m2＋3|TF|所以＝|PQ|
1（m＋3）·＝ 24m2＋1
13
（4＋4）＝. 243
2241?2
m＋1＋2＋4?≥?m＋1?24??当且仅当m＋1＝
2
24|TF|
，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值． m＋1|PQ|
|TF|
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
|PQ|
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
2
21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的5
交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
4
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，
且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
82
21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y＝2px，得x0＝，
p8pp8
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
p22pp858
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
2p4p所以C的方程为y＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
22
代入y＝4x，得y－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
2
故线段的AB的中点为D(2m＋1，2m)， |AB|＝m＋1|y1－y2|＝4(m＋1)． 又直线l ′的斜率为－m，
12
所以l ′的方程为x＝－y＋2m＋3.
22
2
m将上式代入y＝4x，
422
并整理得y＋y－4(2m＋3)＝0.
2
m设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
42
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m＋3)．
m2?2?2
故线段MN的中点为E?2＋2m＋3，－?，
?mm?
|MN|＝4（m＋1）2m＋1
1＋2|y3－y4|＝. 2
1
22
mm1
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
211222
从而|AB|＋|DE|＝|MN|，即
442???2?4(m＋1)＋?2m＋?＋?2＋2?＝
m??m??
2
2
22
4（m＋1）（2m＋1）
， 4
222
m化简得m－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
H3 圆的方程
9．、[2014·福建卷] 设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y＝1上的点，则P，
10
2
2
2
x2
2
Q两点间的最大距离是( )
A．52 B.46＋2