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第二十章 经济增长和经济周期理论
8. 在新古典增长模型中，人均生产函数为 y＝f(k)＝2k－0.5k
人均储蓄率为0.3，人口增长率为0.03，求： (1)使经济均衡增长的k值； (2)与黄金律相对应的人均资本量。
解答：(1)经济均衡增长时：sf(k)＝nk，其中s为人均储蓄率，n为人口增长率。 代入数值得0.3(2k－0.5k)＝0.03k，得k＝3.8。 (2)由题意，有f′(k)＝n，于是，2－k＝0.03，k＝1.97。 因此与黄金律相对应的稳态的人均资本量为1.97。
9. 设一个经济的人均生产函数为y＝k。如果储蓄率为28%，人口增长率为1%，技术进步速度为2%，折旧率为4%，那么，该经济的稳态产出为多少？如果储蓄率下降到10%，而人口增长率上升到4%，这时该经济的稳态产出为多少？
解答：稳态条件为：sf(k)＝(n＋g＋δ)k，其中s为储蓄率，n为人口增长率，δ为折旧率。
代入数值得0.28k＝(0.01＋0.02＋0.04)k，得k＝16，从而，y＝4，即稳态产出为4。 如果s＝0.1，n＝0.04，则k＝1，y＝1，即此时稳态产出为1。
10. 已知资本增长率gk＝2%，劳动增长率gl＝0.8%，产出增长率gy＝3.1%，资本的国民收入份额α＝0.25，在这些条件下，技术进步对经济增长的贡献为多少？
解答：劳动的国民收入份额为：b＝1－α＝0.75。 资本和劳动对经济增长的贡献为 0.25×2%＋0.75×0.8%＝1.1% 所以技术进步对经济增长的贡献为 3.1%－1.1%＝2%
11. 设一个经济中的总量生产函数为 Yt＝Atf(Nt，Kt)
式中Yt、Nt和Kt分别为t时期的总产量、劳动投入量和资本投入量；At为t时期的技术状况。试推导经济增长的分解式，并加以解释。
解答：对生产函数Yt＝Atf(Nt，Kt)关于时间t求全导数，有
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dYtdAt?fdNt?fdKt＝f(Nt，Kt)＋At·＋At·(1) dtdt?Ntdt?Ktdt式(1)两边同除以Yt， 化简后得
dYt/dtdAt/dt?f/?NtdNt?f/?KtdKt＝＋×＋×(2) YtAtf(Nt，Kt)dtf(Nt，Kt)dt经恒等变形， 上式又可表示为 ＋
dYt/dtdAt/dt?fNtdNt/dt＝＋×× YtAt?Ntf(Nt，Kt)Nt?fKtdKt/dt××(3) ?Ktf(Nt，Kt)Kt?fNt?fKtdAt/dtdNt/dt定义a＝×， b＝×， 并用gA表示，用gN表示，
?Ntf(Nt，Kt)?Ktf(Nt，Kt)AtNtdKt/dtdYt/dt用gK表示，用gY表示，则式(3)化为
KtYt gY＝gA＋agN＋bgK(4)
式(4)即为增长的分解式。其含义为总产量的增长率被表示为劳动增长率、资本增长率和技术进步的加权平均。式(4)也为说明经济增长的源泉提供了框架。
12. 在新古典增长模型中，总量生产函数为 12
Y＝F(K，L)＝KL
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(1)求稳态时的人均资本量和人均产量；
(2)用这一模型解释“为什么我们如此富裕，而他们那么贫穷”； (3)求出与黄金律相对应的储蓄率。
解答：(1)由所给的总量生产函数，求得人均生产函数为 1 y＝k
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上式中，y为人均产量，k为人均资本量。 在新古典增长模型中，稳态条件为 sf(k)＝nk
1
即sk＝nk，s为储蓄率，n为人口增长率。
3解得稳态的人均资本量为
?s?3*
k＝??(1) ?n?2
将其代入人均生产函数，求得稳态的人均产量为
*1?s?1*
y＝(k)＝??(2)
3?n?2
(2)解释国家间的生活差异的一个重要方面是人均收入，由式(1)、式(2)可知，当一个国家的储蓄率高、人口增长率低时，该国的稳态人均资本和人均产量就相对较高；反之，则正好相反。因此，根据这里的模型，可以用储蓄率和人口增长率的差异来解释“为什么我们如此富裕，而他们那么贫穷”这个问题。
(3)黄金律所要求的资本存量应满足 f′(k)＝n
12?s?3即k－＝n， 在稳态时，k＝??。 33?n?2所以有
1??s?3?2 ????－＝n
3??n?2?31
所以s＝即为所求。
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13.设在新古典增长模型的框架下， 生产函数为： Y＝F(K， L)＝KL (1)求人均生产函数y＝f(k)；
(2)若不存在技术进步，求稳态下的人均资本量、人均产量和人均消费量。 解答：(1)人均生产函数的表达式为 y＝f(k)?y＝＝
YLKL＝LK＝k L (2)设人口增长率为n，储蓄率为s，折旧率为δ，人均消费为c，则由稳态条件sy＝(n＋δ)k有
sk＝(n＋δ)k k＝?
*
?s?n＋δ?2 y*＝s ?n＋δ?
(1－s)s**
c＝(1－s)y＝ n＋δ
k*、y*、c*即为稳态下的人均资本量、人均产量和人均消费量。
14.在新古典增长模型中，已知生产函数为y＝2k－0.5k，y为人均产出，k为人均资本，储蓄率s＝0.1。人口增长率n＝0.05，资本折旧率δ＝0.05。试求：
(1)稳态时的人均资本和人均产量；
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(2)稳态时的人均储蓄和人均消费。 解答：(1)新古典增长模型的稳态条件为 sy＝(n＋δ)k
将有关关系式及变量数值代入上式，得 0.1(2k－0.5k)＝(0.05＋0.05)k 0.1k(2－0.5k)＝0.1k 2－0.5k＝1 k＝2
将稳态时的人均资本k＝2代入生产函数，得相应的人均产出为 12
y＝2×2－0.5×2＝4－×4＝2
2 (2)相应地，人均储蓄函数为 sy＝0.1×2＝0.2 人均消费为
c＝(1－s)y＝(1－0.1)×2＝1.8
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