发布时间 : 星期一 文章第二章矩阵及其运算更新完毕开始阅读
线性代数教案
课 题 教学内容 矩阵的概念； 矩阵的运算； 第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算 教学目标 明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵； 掌握矩阵定义及运算法则 矩阵乘法 矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix 教学重点 教学难点 教学内容、安排 教学手段、措施 讲授课（结合多媒体教学） （对教学内容及欲达目的、讲授方法 矩阵是线性代数的主要内容之一，是处理许多实际问题的重要数加以说明） 学工具。也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。 一 授课内容： 组织教学 矩阵的概念（给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方阵、 三角阵、对角阵、单位阵的概念） 矩阵运算（相等、加法、数乘、乘法、转置）及运算法则。 二 授课过程与说明 1．矩阵的概念 引入：某工厂要购进4种原料 F1, F2, F3, F4 若知道A1,A2,A3 生产这4种原料，到哪买这4种原料呢，对价格进行比较 F1 F2 F3 F4 A1 4 5 3 6 A2 5 6 4 5 3行4列表 A3 4 7 5 4 在实际问题中经常遇到由m?n个元素构成的数表 定义1 ：m?n个元素aij(i?1,2,,m;j?1,2,,n)排成m行n列矩阵与行列式的区矩形数表 别？ §2.1 矩阵 21
第二章 矩阵及其运算
?a11a12?aa2221 =????an1an2称为一个m?n矩阵。 也可简记为Am?n或aija1n?a2n?? ??ann?一般用大写黑体字母表示：记为A、B、C。为了表示行和列，??m?n矩阵中数aij(i?1,2,;j?1,2,)称为矩阵的第i行第j列元素。 注意： m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。 ?b1??b?2n=1 称为列矩阵或列向量 B???。 ?????bn?m=1 称为行矩阵或行向量 A??a1,a2,an?。 定义2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为A=B。 把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 ?a11a12a13a14??? A?a21a22a23a24 ????a31a32a33a34??其中aij为工厂向第i店发送第j种产品的数量。 这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵 ?b11b12??bb?2122? B?? ?b31b32????b41b42?其中bi1为第i中产品的单价，bi2为第j种产品单价重量。 例2 四个航线中的单向航线 ① ④ ② ③ 22
矩阵是数表，行列式是数值或代数和；矩阵的行与列不等，但行列式的行与列相等。 线性代数教案
则图可用矩阵表示为 ?0111? ?1000?? A?(aij)?? ?0100? ???1010? §2.2 矩阵的运算 可行的条件：是同矩阵的运算 型矩阵，方法是对一、 矩阵的加法： 应位置上的元素相加。其和与原矩阵定义1：A+ B=（aij）m?n+（bij）m?n= （aij+ bij）m?n 同型 a1n?b1n??a11?b11a12?b12 ?a?b?a?ba?b212122222n2n? =? ?? ??amn?bmn??am1?bm1am2?bm2 两个同行（m行）、同列（n列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相 加（行与列不变） 由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律 1、 交换律A+ B= B+ A 2、 结合律（A+ B）+C= A+ (B+C) 3、 有零元A+0=A 4、 有负元A+(-A)=0 A?B?A?(?B) 二、 数与矩阵的乘法 定义2、给定矩阵A=（aij）m?n及数k,则称（kaij）m?n为数k 用数乘以 矩阵中ka1n??ka11ka12的每一个元素 ?ka?kaka21222n?与矩阵A的乘积。即kA= kaij=? ?? ??kamn??kam1kam2 由定义可知 –A=(-1)?A A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 数乘矩阵与数乘行例1、 设 列式的区别所在！！ ?1,从i市到j市有一条单向航线 aij??0，从i市到j市没有单向航线?23
第二章 矩阵及其运算
?3?120??75?24?????A=1579 B=5197 ???????2468???32?16??求满足关系式A+2X=B的矩阵X （3A—2B） 三、矩阵的乘法 定义3：设A=（aij）m?s B =（bij）s?n则乘积AB=C=(cij)m?n cij==ai1b1j?ai2b2j???aisbsj ?abk?1sikkj(i=1,2````m;j=1,2```n) 一般称AB为A左乘B 矩阵乘法可行的条件是A的列数与矩阵B的行数相同。方法：A中的第行与B中的第列对应元素乘积之和 例2 设A=（aij）3?s，B =（bij）4?l ， (cij)m?6且AB=C，确定s, m , l的值 ?1?32???112??10?求AB 是否可以例3，设A=??224?? B =?1????11?1???求BA 例4设A=???34??2?4???? B =求AB ，BA ????57???53??1?1??22?A=???11?? B =??22??求AB ????通过以上例题得出以下结论（这是与通常意义下的乘法所不同的） 1， AB=0 A,B不一定为0 2， AB不等于BA即矩阵乘法不满足交换律（若成立则说可交换 3， AB=AC, B不等于C例如 设A=???12??10??11?????? B = C= A C =B C 但 ??????03??04??00?方阵乘法 矩阵的乘法满足以下运算律 1， 结合律：(AB)C=A(BC), (kA)B=k(AB) 2， 分配律：(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC 例5 定义说明，如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中的第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B 的第j列对应元素乘积的和。并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数 矩阵的乘法总让我们联想是否满足数的乘法的运算律。 怎样定义矩阵的幂？ 24