2016-2017数学人教a版高一必修4 - 2.5 - 平面向量应用举例 - 作业

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[A.基础达标]

1.一个人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度的大小为( ) A.v1-v2 B.v1+v2

v1C.|v1|-|v2| D. v2

解析:选C.根据速度的合成可知.

→→→→

2.已知平面内四边形ABCD和点O,若OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且a+c=b+d,则四边形ABCD为( )

A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形 解析:选D.由题意知a-b=d-c, →→∴BA=CD,

∴四边形ABCD为平行四边形.故选D.

3.平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则顶点D的坐标是( ) A.(12,5) B.(-2,9) C.(3,7) D.(-4,-1)

??-3-x=1,→→

解析:选D.设D(x,y),由AB=DC,知(1,5)=(-3-x,4-y),即?

?4-y=5,?

??x=-4,

解得?故选D.

?y=-1.?

3π→→

4.在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点O按逆时针旋转后得向量OQ,则点Q的坐

4

标是( )

A.(-72,-2) B.(-72,2) C.(-46,-2) D.(-46,2)

3π1→→→→→

解析:选A.将向量OP=(6,8),按逆时针旋转后,得OM=(8,-6),OQ=-(OP+OM)=(-72,

22-2),所以点Q的坐标是(-72,-2).

→→

5.已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上两点,且|AB|=5,则AC·CB等于( )

55A.- B. 22

53

C.0 D.

2

→→→→

解析:选A.由已知得△ABC为正三角形,向量AC与CB的夹角为120°.所以AC·CB=5·5cos 120°=-5. 2

6. 如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10牛,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米时,力F做的功为________焦耳.

解析:设小车位移为s,则|s|=10米, WF=F·s=|F||s|·cos 60°

1

=10×10×=50(焦耳).

2

答案:50

→→→→

7.在△ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且AB·AC=8,则这个三角形的形状是________.

→→

解析:∵AB·AC=4×4·cos A=8,

∴cos A=,∴∠A=,

23

∴△ABC是正三角形. 答案:正三角形

π

8.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与行进的方向夹角为,此人的拉力的大小为50 N,

6

则纤夫对船所做的功为________.

π

解析:由题意可知,纤夫拉力|F|=50 N,位移|s|=60 m,拉力F与位移s的夹角为,所以纤夫对船所

6

π

做的功W=F·s=|F|·|s|cos =1 5003(J).

6

答案:1 5003 J

→→→

9.如图所示,P是△ABC内一点,且满足AP+2BP+3CP=0,设Q为CP延长线与AB的交点,求证:→→CQ=2CP.

→→→→→→

证明:∵AP=AQ+QP,BP=BQ+QP, →→→→→

∴(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0, →→→→

∴AQ+3QP+2BQ+3CP=0.

又∵A,B,Q三点共线,C,P,Q三点共线,

→→→→

故可设AQ=λBQ,CP=μQP,

→→→→

∴λBQ+3QP+2BQ+3μQP=0,

→→

∴(λ+2)BQ+(3+3μ)QP=0. →→

而BQ,QP为不共线向量, ??λ+2=0,∴? ?3+3μ=0,?

??λ=-2,解得?

?μ=-1,?

→→→→→→→∴CP=-QP=PQ.故CQ=CP+PQ=2CP. 10.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(取重力加速度大小为10 m/s2)

解:如图所示,设木块的位移为s,则:F·s=|F|·|s|cos 30°

3

=50×20×=5003(J).

2

将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2.

1

则|f1|=|F|sin 30°=50×=25(N).

2

所以|f|=μ(|G|-|f1|)=0.02×(8×10-25)=1.1(N). 因此f·s=|f|·|s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).

故力F和摩擦力f所做的功分别为5003 J和-22 J.

[B.能力提升]

1.水平面上的物体受到力F1,F2的作用,F1水平向右,F2与水平向右方向的夹角为θ,物体在运动过程中,力F1与F2的合力所做的功为W,若物体一直沿水平地面运动,则力F2对物体做功的大小为( )

|F2||F2|cos θA.W B.W |F1|+|F2||F1|+|F2|

|F2||F2|cos θ

C.W D.W |F1|cos θ+|F2||F1|+|F2|cos θ解析:选D.设物体的位移是s, 根据题意有(|F1|+|F2|cos θ)|s|=W,

W|F2|cos θ

即|s|=,所以力F2对物体做功的大小为W.

|F1|+|F2|cos θ|F1|+|F2|cos θ

→→→→2

2.在△ABC中,(BC+BA)·AC=|AC|,则△ABC的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

→→→→2

解析:选C.由(BC+BA)·AC=|AC|, →→→→得(BC+BA)·AC-AC2=0,

→→→→所以AC·(BC+BA-AC)=0,

→→→→所以AC·(BC+BA+CA)=0, →→→→即AC·(BC+CA+BA)=0,

→→所以2AC·BA=0,

→→

所以AC⊥BA,所以∠A=90°, 所以△ABC是直角三角形.

→1→2→

3.已知P为△ABC所在平面内一点,且满足AP=AC+AB,则△APB的面积与△APC的面积之比为

55

________.

→→→

解析:5AP=AC+2AB, →→→→→2AP-2AB=AC-AP-2AP,

→→→-2(PA+PB)=PC,

→→

如图所示,以PA,PB为邻边作?PAEB,则C,P,E三点共线,连接PE交AB于点O,则PC=2EP=→4OP,

S△APB2S△APO2|OP|1∴===.

|PC|2S△APCS△APC

答案:1∶2 4.有一两岸平行的河流,水速大小为1,小船的速度大小为2,为使所走路程最短,小船应朝________的方向行驶.

解析:如图,为使小船所走路程最短,那么v水+v船应与河岸垂直.

又|v水|=|AB|=1,

|v船|=|AC|=2,∠ADC=90°, ∴∠CAD=45°.

答案:与水速成135°角

5. 如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明:

(1)DE∥BC;

(2)D,M,B三点共线. →

|AB|=2.

→→

证明:以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系.令|AD|=1,则|DC|=1,

∵CE⊥AB,而AD=DC, ∴四边形AECD为正方形. ∴可求得各点坐标分别为:

E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).

(1)∵ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), →

BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1), →→→→

∴ED=BC,∴ED∥BC,即DE∥BC.

1

(2)连接MD,MB,∵M为EC的中点,∴M(0,),

2

11→

∴MD=(-1,1)-(0,)=(-1,),

2211→

MB=(1,0)-(0,)=(1,-).

22

→→→→∵MD=-MB,∴MD∥MB. 又MD与MB有公共点M, ∴D,M,B三点共线.

→→

6.(选做题)如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A为中点,问PQ与BC

→→

的夹角θ取何值时,BP·CQ的值最大,并求出这个最大值.

解:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设AB=c,AC=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b), 且PQ=2a,BC=a.设点P(x,y),则Q(-x,-y),

→→→→→→所以BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y),所以BP·CQ=(x-c)(-

22

x)+y(-y-b)=-(x+y)+cx-by.

→→PQ·BCcx-by

所以cos θ==2,

a→→

|PQ||BC|

所以cx-by=a2cos θ,

→→所以BP·CQ=-a2+a2cos θ,

→→

故当cos θ=1,即θ=0(BP与CQ的方向相同)时, →→BP·CQ最大,其最大值为0.

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