发布时间 : 星期三 文章2016-2017数学人教a版高一必修4 - 2.5 - 平面向量应用举例 - 作业更新完毕开始阅读
[A.基础达标]
1．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为( ) A．v1－v2 B．v1＋v2
v1C．|v1|－|v2| D. v2
解析：选C.根据速度的合成可知．
→→→→
2．已知平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 解析：选D.由题意知a－b＝d－c， →→∴BA＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．故选D.
3．平行四边形ABCD的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则顶点D的坐标是( ) A．(12,5) B．(－2,9) C．(3,7) D．(－4，－1)
??－3－x＝1，→→
解析：选D.设D(x，y)，由AB＝DC，知(1,5)＝(－3－x,4－y)，即?
?4－y＝5，?
??x＝－4，
解得?故选D.
?y＝－1.?
3π→→
4．在平面直角坐标系中，O(0,0)，P(6,8)，将向量OP绕点O按逆时针旋转后得向量OQ，则点Q的坐
4
标是( )
A．(－72，－2) B．(－72，2) C．(－46，－2) D．(－46，2)
3π1→→→→→
解析：选A.将向量OP＝(6,8)，按逆时针旋转后，得OM＝(8，－6)，OQ＝－(OP＋OM)＝(－72，
22－2)，所以点Q的坐标是(－72，－2)．
→→
5．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于( )
55A．－ B. 22
53
C．0 D.
2
→→→→
解析：选A.由已知得△ABC为正三角形，向量AC与CB的夹角为120°.所以AC·CB＝5·5cos 120°＝－5. 2
6. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米， WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°
1
＝10×10×＝50(焦耳)．
2
答案：50
→→→→
7．在△ABC中，已知|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则这个三角形的形状是________．
→→
解析：∵AB·AC＝4×4·cos A＝8，
1π
∴cos A＝，∴∠A＝，
23
∴△ABC是正三角形． 答案：正三角形
π
8．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m，若纤绳与行进的方向夹角为，此人的拉力的大小为50 N，
6
则纤夫对船所做的功为________．
π
解析：由题意可知，纤夫拉力|F|＝50 N，位移|s|＝60 m，拉力F与位移s的夹角为，所以纤夫对船所
6
π
做的功W＝F·s＝|F|·|s|cos ＝1 5003(J)．
6
答案：1 5003 J
→→→
9．如图所示，P是△ABC内一点，且满足AP＋2BP＋3CP＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：→→CQ＝2CP.
→→→→→→
证明：∵AP＝AQ＋QP，BP＝BQ＋QP， →→→→→
∴(AQ＋QP)＋2(BQ＋QP)＋3CP＝0， →→→→
∴AQ＋3QP＋2BQ＋3CP＝0.
又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
→→→→
故可设AQ＝λBQ，CP＝μQP，
→→→→
∴λBQ＋3QP＋2BQ＋3μQP＝0，
→→
∴(λ＋2)BQ＋(3＋3μ)QP＝0. →→
而BQ，QP为不共线向量， ??λ＋2＝0，∴? ?3＋3μ＝0，?
??λ＝－2，解得?
?μ＝－1，?
→→→→→→→∴CP＝－QP＝PQ.故CQ＝CP＋PQ＝2CP. 10．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(取重力加速度大小为10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则：F·s＝|F|·|s|cos 30°
3
＝50×20×＝5003(J)．
2
将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2.
1
则|f1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)．
2
所以|f|＝μ(|G|－|f1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)． 因此f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
故力F和摩擦力f所做的功分别为5003 J和－22 J.
[B.能力提升]
1．水平面上的物体受到力F1，F2的作用，F1水平向右，F2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中，力F1与F2的合力所做的功为W，若物体一直沿水平地面运动，则力F2对物体做功的大小为( )
|F2||F2|cos θA.W B.W |F1|＋|F2||F1|＋|F2|
|F2||F2|cos θ
C.W D.W |F1|cos θ＋|F2||F1|＋|F2|cos θ解析：选D.设物体的位移是s， 根据题意有(|F1|＋|F2|cos θ)|s|＝W，
W|F2|cos θ
即|s|＝，所以力F2对物体做功的大小为W.
|F1|＋|F2|cos θ|F1|＋|F2|cos θ
→→→→2
2．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
→→→→2
解析：选C.由(BC＋BA)·AC＝|AC|， →→→→得(BC＋BA)·AC－AC2＝0，
→→→→所以AC·(BC＋BA－AC)＝0，
→→→→所以AC·(BC＋BA＋CA)＝0， →→→→即AC·(BC＋CA＋BA)＝0，
→→所以2AC·BA＝0，
→→
所以AC⊥BA，所以∠A＝90°， 所以△ABC是直角三角形．
→1→2→
3．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足AP＝AC＋AB，则△APB的面积与△APC的面积之比为
55
________．
→→→
解析：5AP＝AC＋2AB， →→→→→2AP－2AB＝AC－AP－2AP，
→→→－2(PA＋PB)＝PC，
→→
如图所示，以PA，PB为邻边作?PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC＝2EP＝→4OP，
S△APB2S△APO2|OP|1∴＝＝＝.
|PC|2S△APCS△APC
答案：1∶2 4．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为2，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．
解析：如图，为使小船所走路程最短，那么v水＋v船应与河岸垂直．
→
又|v水|＝|AB|＝1，
→
|v船|＝|AC|＝2，∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝45°.
答案：与水速成135°角
5. 如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线． →
|AB|＝2.
→→
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令|AD|＝1，则|DC|＝1，
∵CE⊥AB，而AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形． ∴可求得各点坐标分别为：
E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
→
(1)∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， →
BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， →→→→
∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.
1
(2)连接MD，MB，∵M为EC的中点，∴M(0，)，
2
11→
∴MD＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，
2211→
MB＝(1,0)－(0，)＝(1，－)．
22
→→→→∵MD＝－MB，∴MD∥MB. 又MD与MB有公共点M， ∴D，M，B三点共线．
→→
6．(选做题)如图，在直角三角形ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问PQ与BC
→→
的夹角θ取何值时，BP·CQ的值最大，并求出这个最大值．
解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB＝c，AC＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)， 且PQ＝2a，BC＝a.设点P(x，y)，则Q(－x，－y)，
→→→→→→所以BP＝(x－c，y)，CQ＝(－x，－y－b)，BC＝(－c，b)，PQ＝(－2x，－2y)，所以BP·CQ＝(x－c)(－
22
x)＋y(－y－b)＝－(x＋y)＋cx－by.
→→PQ·BCcx－by
所以cos θ＝＝2，
a→→
|PQ||BC|
所以cx－by＝a2cos θ，
→→所以BP·CQ＝－a2＋a2cos θ，
→→
故当cos θ＝1，即θ＝0(BP与CQ的方向相同)时， →→BP·CQ最大，其最大值为0.