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第一章 行列式试题及答案
一 选择题 (每小题3分，共30分)
⑴ n元排列 i1 i2… in经过相邻对换，变为in … i2 i1，则相邻对换的次数为( )
(A) n (B) n/2 (C) 2n
(D) n(n-1)/2
2x1?1⑵ 在函数f?x???2x?x4x中，x3的系数是( )
12x (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4
⑶ 若Dn=det(aij)=1，则det(－aij) = ( )
(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n
(D) (-1)
n(n-1)/2
?1?1⑷ 设
?2?2???，则n不可取下面的值是( )
?n?n(A)7 (B) 2k
+1(k2) (C) 2k
(k
2) (D) 17
⑸ 下列行列式等于零的是( )
3210030?103?16(A)?321 (B) 0?10 (C) 300 (D) 224
001130001162⑹ 行列式D非零的充分条件是( ) (A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例
(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 a2?1abac⑺
abb2?1bc? ( ) acbcc2?1a2abac100a2abac1abac(A) abb2bc?010 (B) abb2?1bc?abb2?1bc acbcc2001acbcc2?1acbcc2?1a2abac1abaca2abac1abac (C) abb2?1bc?0b2?1bc (D) abb2bc?ab1bc
acbcc2?10bcc2?1acbcc2acbc1b?cc?aa?b⑻ 设a,b,c两两不同，则abc?0的充要条件是( )
a2b2c2(A) abc=0 (B) a+b+c=0 (C) a=1, b=-1, c=0 (D) a2
=b2
, c=0
a1b1⑼ 四阶行列式
a2b2b
3a?( ) 3b4a4(A) (a1a2- b1b2) (a3a4- b3b4) (B) (a1a4- b1b4) (a2a3- b2b3)
(C) (a1b2- a2b1) (a3b4- a4b3) (D) (a1b4- a4b1) (a2b3- a3b2)
?x1?2x2?2x3?0⑽ 齐次线性方程组??2x1?x2??x3?0只有零解，则应满足的条
??3x1?x2?x3?0件是( )
(A) ?=0 (B) ?=2 (C) ?=1 (D) ?
1
二 填空 (每小题3分，共15分)
⑴ 在五阶行列式中，a12a53a41a24a35的符号是_________。
0001300032
⑵ 五阶行列式00183?___________。
0207530026
?157?8⑶ 设D?111120?96，则5A14+A24+A44=_______。
?3437ab0⑷ 若a,b是实数，则当a=___且b=___时，有?ba0?0。
?10?1x1x2x3⑸ 设x1,x2,x3是方程x3+px+q=0的根，则行列式x3x1x2?__。
x2x3x1三 计算行列式 (每小题6分，共30分)
1123123?1?122a?a?1?2?a?2?2?a?3?2⑴ 23?1?10 ⑵ b2?b?1?2?b?2?2?b?3?2212301c?c?1?2?c?2?2?c?3?2
?22110d2?d?1?2?d?2?2?d?3?21?x111ab⑶
11?x11cab111?y1 ⑷
cab 1111?ycabcaxa?aabx?aa⑸ Dn??????(a
b)
bb?xabb?bx四 证明题 (每小题10分，共20分)
⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n构成的n元排列，一定可以经过不超过n次对换变成标准排列12…n
ax?by?c?0⑵ 设平面上三条不同的直线为 bx?cy?a?0，
cx?ay?b?0
证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是a?b?c?0 五 解答题 (5分)
??x1?x2?x3?0 和 取何值时，??x1??x2?x3?0有非零解？
??x1?2?x2?x3?0
参考答案
一、选择题
⑴ (D) ⑵ (A) ⑶ (C) ⑷ (A) ⑸ (D) ⑹ (D) ⑺ (C) ⑻ (B) ⑼ (B)； ⑽ (D) 二、填空题 ⑴ “-”
调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列a12a24a35a41a53，此时列标排列的逆序数为t(24513)=5，故该项带负号。 ⑵ 42 000130003200183?(?1)2?3?1310207532?2?42
330026⑶ -150
用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有
?15755A11114+A24+A44=
120?90??150
?3431⑷ a=0, b=0
ab0?ba0??ab??(a2?b2)?0 ??10?1?ba a=0, b=0
⑸ 0
由题意知k?x?x1??x?x2??x?x3
2
3??0，其中x的系数为k，x的系数为?k(x1?x2?x3)，与原方程比较，得k=1，x1+x 2+x 3=0。将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得 x1x2x3111x3x1x2?(x1?x2?x3)x3x1x2?0 x2x3x1x2x3x1三、计算题
112310?1?1303?1?1221?5?720⑴ 23?1?10r1?r43?1?10
12301rr22?2412301?22110?221100?1?130?1?13按第5列展开(?1)4?51?5?72r4?r31?5?7223?1?1?23?1?1
?22110500按第4行展开0?13?5?1?72r0?133?2r2?5?1?72
2?1?1013?5按第1列展开5??1313?5??170
a2?a?1?2?a?2?2?a?3?22a?32a?5 ⑵ b2?b?1?2?b?2?2?b?3?2c24?c3a2a?1c2?c?1?2?c?2?2?c?3?2ccb22b?12b?32b?53?2d2?d?1?2?d?2?2?d?3?2c?cc22c?12c?32c?5
21d22d?12d?32d?5a22a?122c4?c3b22b?122c3?c2c22c?122?0 d22d?1221?x111xx00⑶
11?x11r1?r211?x11111?y1r0
3?r40yy1111?y1111?y1100第1,3行提取公因子xy11?x110011
1111?y1100r4?r1xy11?x1120011?x2y
0011?yabcab⑷ 对n阶行列式
ca?按第一行展开，得递推公式 ??bcaDn?aDn?1?bcDn?1
于是有 D3?aD2?bcD1?a(a2?bc)?abc?a3?2abc D4?aD3?bcD2?a(a3?2abc)?bc(a2?bc)?a4?3a2bc?b2c2 D5?aD4?bcD3?a5?4a3bc?3ab2c2
xa?aaxa?aa?0bx?aabx?aa?0 ⑸ Dn???????????? bb?xabb?xa?0bb?bxbb?ba?(x?a)
xa?aaxa?a0bx?aabx?a0????????????
bb?xabb?x0bb?babb?b(x?a)xa?a1bx?a1?a??????(x?a)Dn?1 bb?x1bb?b1x?ba?b?a?b1cx?b?a?b1i?bcn(i?1,2,?,n?1)a????(x?a)Dn?1 x?b11得递推公式Dn?a(x?b)n?1?(x?a)Dn?1 ① Dn的转置行列式相当于将a,b互换，于是有
Dn?b(x?a)n?1?(x?b)Dn?1 ②
因为ab，①?(x-b)-②?(x-a)，得
a?x?b?n?b?x?a?nDn?a?b
⑴ 设n元排列为i1i2…in。
当n=2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。 假设结论对n-1元排列成立，下面证明对n元排列也成立 ① 若元素in=n。
根据归纳法假设，i1i2…in-1可经过不超过n-1次对换变成12… (n-1)，亦即i1i2…in-1in可经过不超过n-1次对换( n。 不妨设ik=n，只需对换元素ik和in，即得第①种情形，故i1i2…in可经过不超过n次对换变成12…n ⑵ 必要性 设三条直线交于一点(x0,y0)，则x=x0，y=y0，z＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解， ??ax?by?cz?0?bx?cy?az?0 ??cx?ay?bz?0abc故系数行列式D?bca?0 即 cabD??(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ??12(a?b?c)?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] ?0 由于三条直线不同，因此，a,b,c不能全部相等，故a?b?c?0。 充分性 已知a?b?c?0，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。 ??ax?by??c?bx?cy??a ① ??cx?ay??b 将前两个方程相加，有 (a?b)x?(b?c)y??(c?a) 由于a?b?c?0，得?cx?ay??b，即第三个方程。 因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组①变为 ??ax?by??c?bx?cy??a ② 其系数行列式D?ab?ac?b2?ac?(a?c)2bc ??(a2?c2?ac)??12[a2?c2?(a?c)2] 显然D0 [否则，a=c=0，并由此得b=- (a+c)=0，这与ax?by?c?0是直线方程矛盾] 因此，方程组②亦即方程组①有唯一解，三条直线交于一点。 五、解答题 齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即 ?11D?1?1r?113?r21?1????1???(??1)?012?10?011 故??1或??0时，方程组有非零解。 四、证明题