第一章-行列式试题及答案

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第一章 行列式试题及答案

一 选择题 (每小题3分,共30分)

⑴ n元排列 i1 i2… in经过相邻对换,变为in … i2 i1,则相邻对换的次数为( )

(A) n (B) n/2 (C) 2n

(D) n(n-1)/2

2x1?1⑵ 在函数f?x???2x?x4x中,x3的系数是( )

12x (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

⑶ 若Dn=det(aij)=1,则det(-aij) = ( )

(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n

(D) (-1)

n(n-1)/2

?1?1⑷ 设

?2?2???,则n不可取下面的值是( )

?n?n(A)7 (B) 2k

+1(k2) (C) 2k

(k

2) (D) 17

⑸ 下列行列式等于零的是( )

3210030?103?16(A)?321 (B) 0?10 (C) 300 (D) 224

001130001162⑹ 行列式D非零的充分条件是( ) (A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例

(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 a2?1abac⑺

abb2?1bc? ( ) acbcc2?1a2abac100a2abac1abac(A) abb2bc?010 (B) abb2?1bc?abb2?1bc acbcc2001acbcc2?1acbcc2?1a2abac1abaca2abac1abac (C) abb2?1bc?0b2?1bc (D) abb2bc?ab1bc

acbcc2?10bcc2?1acbcc2acbc1b?cc?aa?b⑻ 设a,b,c两两不同,则abc?0的充要条件是( )

a2b2c2(A) abc=0 (B) a+b+c=0 (C) a=1, b=-1, c=0 (D) a2

=b2

, c=0

a1b1⑼ 四阶行列式

a2b2b

3a?( ) 3b4a4(A) (a1a2- b1b2) (a3a4- b3b4) (B) (a1a4- b1b4) (a2a3- b2b3)

(C) (a1b2- a2b1) (a3b4- a4b3) (D) (a1b4- a4b1) (a2b3- a3b2)

?x1?2x2?2x3?0⑽ 齐次线性方程组??2x1?x2??x3?0只有零解,则应满足的条

??3x1?x2?x3?0件是( )

(A) ?=0 (B) ?=2 (C) ?=1 (D) ?

1

二 填空 (每小题3分,共15分)

⑴ 在五阶行列式中,a12a53a41a24a35的符号是_________。

0001300032

⑵ 五阶行列式00183?___________。

0207530026

?157?8⑶ 设D?111120?96,则5A14+A24+A44=_______。

?3437ab0⑷ 若a,b是实数,则当a=___且b=___时,有?ba0?0。

?10?1x1x2x3⑸ 设x1,x2,x3是方程x3+px+q=0的根,则行列式x3x1x2?__。

x2x3x1三 计算行列式 (每小题6分,共30分)

1123123?1?122a?a?1?2?a?2?2?a?3?2⑴ 23?1?10 ⑵ b2?b?1?2?b?2?2?b?3?2212301c?c?1?2?c?2?2?c?3?2

?22110d2?d?1?2?d?2?2?d?3?21?x111ab⑶

11?x11cab111?y1 ⑷

cab 1111?ycabcaxa?aabx?aa⑸ Dn??????(a

b)

bb?xabb?bx四 证明题 (每小题10分,共20分)

⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n构成的n元排列,一定可以经过不超过n次对换变成标准排列12…n

ax?by?c?0⑵ 设平面上三条不同的直线为 bx?cy?a?0,

cx?ay?b?0

证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是a?b?c?0 五 解答题 (5分)

??x1?x2?x3?0 和 取何值时,??x1??x2?x3?0有非零解?

??x1?2?x2?x3?0

参考答案

一、选择题

⑴ (D) ⑵ (A) ⑶ (C) ⑷ (A) ⑸ (D) ⑹ (D) ⑺ (C) ⑻ (B) ⑼ (B); ⑽ (D) 二、填空题 ⑴ “-”

调换乘积中元素的位置,使行标成标准排列a12a24a35a41a53,此时列标排列的逆序数为t(24513)=5,故该项带负号。 ⑵ 42 000130003200183?(?1)2?3?1310207532?2?42

330026⑶ -150

用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列,按第四列展开,有

?15755A11114+A24+A44=

120?90??150

?3431⑷ a=0, b=0

ab0?ba0??ab??(a2?b2)?0 ??10?1?ba a=0, b=0

⑸ 0

由题意知k?x?x1??x?x2??x?x3

2

3??0,其中x的系数为k,x的系数为?k(x1?x2?x3),与原方程比较,得k=1,x1+x 2+x 3=0。将行列式的第2,3行加至第1行,并对第1行提取公因子,得 x1x2x3111x3x1x2?(x1?x2?x3)x3x1x2?0 x2x3x1x2x3x1三、计算题

112310?1?1303?1?1221?5?720⑴ 23?1?10r1?r43?1?10

12301rr22?2412301?22110?221100?1?130?1?13按第5列展开(?1)4?51?5?72r4?r31?5?7223?1?1?23?1?1

?22110500按第4行展开0?13?5?1?72r0?133?2r2?5?1?72

2?1?1013?5按第1列展开5??1313?5??170

a2?a?1?2?a?2?2?a?3?22a?32a?5 ⑵ b2?b?1?2?b?2?2?b?3?2c24?c3a2a?1c2?c?1?2?c?2?2?c?3?2ccb22b?12b?32b?53?2d2?d?1?2?d?2?2?d?3?2c?cc22c?12c?32c?5

21d22d?12d?32d?5a22a?122c4?c3b22b?122c3?c2c22c?122?0 d22d?1221?x111xx00⑶

11?x11r1?r211?x11111?y1r0

3?r40yy1111?y1111?y1100第1,3行提取公因子xy11?x110011

1111?y1100r4?r1xy11?x1120011?x2y

0011?yabcab⑷ 对n阶行列式

ca?按第一行展开,得递推公式 ??bcaDn?aDn?1?bcDn?1

于是有 D3?aD2?bcD1?a(a2?bc)?abc?a3?2abc D4?aD3?bcD2?a(a3?2abc)?bc(a2?bc)?a4?3a2bc?b2c2 D5?aD4?bcD3?a5?4a3bc?3ab2c2

xa?aaxa?aa?0bx?aabx?aa?0 ⑸ Dn???????????? bb?xabb?xa?0bb?bxbb?ba?(x?a)

xa?aaxa?a0bx?aabx?a0????????????

bb?xabb?x0bb?babb?b(x?a)xa?a1bx?a1?a??????(x?a)Dn?1 bb?x1bb?b1x?ba?b?a?b1cx?b?a?b1i?bcn(i?1,2,?,n?1)a????(x?a)Dn?1 x?b11得递推公式Dn?a(x?b)n?1?(x?a)Dn?1 ① Dn的转置行列式相当于将a,b互换,于是有

Dn?b(x?a)n?1?(x?b)Dn?1 ②

因为ab,①?(x-b)-②?(x-a),得

a?x?b?n?b?x?a?nDn?a?b

⑴ 设n元排列为i1i2…in。

当n=2时,最多只需1次对换即可得标准排列12,结论成立。 假设结论对n-1元排列成立,下面证明对n元排列也成立 ① 若元素in=n。

根据归纳法假设,i1i2…in-1可经过不超过n-1次对换变成12… (n-1),亦即i1i2…in-1in可经过不超过n-1次对换(

n。

不妨设ik=n,只需对换元素ik和in,即得第①种情形,故i1i2…in可经过不超过n次对换变成12…n ⑵ 必要性

设三条直线交于一点(x0,y0),则x=x0,y=y0,z=1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解,

??ax?by?cz?0?bx?cy?az?0 ??cx?ay?bz?0abc故系数行列式D?bca?0 即

cabD??(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ??12(a?b?c)?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

?0

由于三条直线不同,因此,a,b,c不能全部相等,故a?b?c?0。 充分性

已知a?b?c?0,要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。

??ax?by??c?bx?cy??a ① ??cx?ay??b 将前两个方程相加,有

(a?b)x?(b?c)y??(c?a)

由于a?b?c?0,得?cx?ay??b,即第三个方程。

因此,满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程),去掉第三个方程,方程组①变为

??ax?by??c?bx?cy??a ② 其系数行列式D?ab?ac?b2?ac?(a?c)2bc ??(a2?c2?ac)??12[a2?c2?(a?c)2]

显然D0 [否则,a=c=0,并由此得b=- (a+c)=0,这与ax?by?c?0是直线方程矛盾]

因此,方程组②亦即方程组①有唯一解,三条直线交于一点。 五、解答题

齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零,即

?11D?1?1r?113?r21?1????1???(??1)?012?10?011

故??1或??0时,方程组有非零解。

四、证明题

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