发布时间 : 星期日 文章高中数学2015新课标步步高2.3更新完毕开始阅读
§2.3 函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称
奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．
( × ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
x
(4)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝2.
?x－2??x＋a?
(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ ) (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. ( √ )
1
2．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
xA．－2 答案 A
解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是
1111A．－ B. C. D．－
3322答案 B
( )
B．0
C．1
D．2
解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
11∴a＝，则a＋b＝. 33
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)等于
( )
A．－2 答案 A
B．2 C．－98 D．98
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 015)＝－2.
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞)
解析 画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞).
题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝9－x2＋x2－9；
1－x
(2)f(x)＝(x＋1) ；
1＋x4－x2(3)f(x)＝. |x＋3|－3
思维启迪 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
2
??9－x≥0
解 (1)由?2，得x＝±3.
?x－9≥0?
∴f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
1－x??≥01＋x(2)由?，得－1 2 ??4－x≥0(3)由?，得－2≤x≤2且x≠0. ?|x＋3|－3≠0? ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． 4－x24－x2∴f(x)＝＝. x?x＋3?－3∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数． 思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 判断下列函数的奇偶性： lg?1－x2? (1)f(x)＝； |x－2|－2x＋2?x>0??? (2)f(x)＝?0?x＝0?. ??－x2－2?x<0? 2??1－x>0 解 (1)由?，得定义域为(－1,0)∪(0,1)， ?|x－2|－2≠0? 2 lg?1－x2?lg?1－x2? f(x)＝＝－. x－?x－2?－2 lg[1－?－x?2]lg?1－x2? ∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)． －x－x∴f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数． 题型二 函数周期性的应用 例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2 015)等于 A．335 B．336 C．1 678 D．2 012 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－＝________. 思维启迪 (1)f(x)的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和．(2)通过题意先确定函数的周期性． 答案 (1)B (2)2.5 解析 (1)利用函数的周期性和函数值的求法求解． ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2； 当－1≤x<3时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋?＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋?＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋?＋f(12)＝?＝f(2 005)＋f(2 006)＋?＋f(2 010)＝1， 2 010 ∴f(1)＋f(2)＋?＋f(2 010)＝1×＝335. 6而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f(1)＋f(2)＋?＋f(2 015)＝335＋1＝336. (2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] 11 ＝－＝－＝f(x)． 1f?x＋2? －f?x?故函数的周期为4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)求函数周期的方法 (1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于 ( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 5 －?等于 ( ) (2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f??2?1 ，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)f?x? ( )