发布时间 : 星期日 文章广东省惠东县惠东中学校本课程更新完毕开始阅读
而y?R?,从而在集合B中,y?1??y??y. 2?x2?x?1?y?1(1)?y??x??(2) 由A?B,得?2?(3)???x?1??y由(2)(3)解得x?1,y?2,代入(1)式知x?1,y?2也满足(1)式.
?x2?y2?12?22?5.
〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中
对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.
【例4】已知集合A?{x,y,lg(xy)},B?{0,|x|,y}.若A?B,求(x?11)?(x2?2)???yy+(x2008?1y2008)的值.
〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决. 【解】?A?B,???x?xy?lg(xy)?|x|?y,根据元素的互异性,由B知x?0,y?0.
?x?xy?lg(xy)?0?0?B且A?B,?0?A,故只有lg(xy)?0,从而xy?1.
又由1?A及A?B,得1?B. 所以??xy?1?xy?1或?,其中x?y?1与元素的互异性矛盾!
?|x|?1?y?1所以x?y?1,代入得:
111(x?)?(x2?2)???+(x2008?2008)=(?2)+2+(?2)+2+??+(?2)+2=0.
yyy〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.
【例5】已知A为有限集,且A?N,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.
【解】设集合A={a1,a2,?,an}(n?1)且1?a1?a2??an,由a1?a2???an?a1?a2???an,
*an?n(n?N*),得nan?a1?a2???an?a1?a2???an?an(n?1)!,即n?(n?1)!
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?n?2或n?3(事实上,当n?3时,有(n?1)!?(n?1)(n?2)?(n?1)?2?n).
当n?2时,a1?a2?a1?a2?2a2,?a1?2,?a1?1,而1?a2?1?a2,?n?2. 当n?3时,a1?a2?a3?a1?a2?a3?3a3,?a1?a2?3,?a1?1,a2?2. 由2a3?3?a3,解得a3?3. 综上可知,A?{1,2,3}.
〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.
【例6】已知集合P?{x|x2?3x?2?0},S?{x|x2?2ax?a?0},若S?P,求实数a的取值组成的集合A.
【解】P?{x|1?x?2},设f(x)?x2?2ax?a.
①当??(?2a)2?4a?0,即0?a?1时,S??,满足S?P; ②当??(?2a)2?4a?0,即a?0或a?1时, 若a?0,则S?{0},不满足S?P,故舍去; 若a?1时,则S?{1},满足S?P.
22③当??(?2a)?4a?0时,满足S?P等价于方程x?2ax?a?0的根介于1和2之间.
??0??a?0或a?1(?2a)??1?a?21???2??2?a??. 即???f(1)?0??1?a?0?f(2)?0??4?3a?0?综合①②③得0?a?1,即所求集合A?{a|0?a?1}.
〖说明〗先讨论特殊情形(S=?),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对?分类讨论,确定
a的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论??0.
22【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集 M?{(x,y)||x?y?1|?2(x?y),x,y?R},
N?{(x,y)||x?a|?|y?1|?1,x,y?R}. 若 M?N??, 则 a 的取值范围是
．
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【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x?y?1?0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (a,1) 为中
y心的正方形及其内部的点集(如图)．
考察 M?N?? 时, a 的取值范围:
令 y?1, 代入方程|x?y?1|?2321-22(x?y) ,
-322-1O-11234567x得 x?4x?2?0，解出得 x?2?6． 所以，
当 a?2?6?1?1?6 时, M?N??． ???? ③
令 y?2，代入方程 |x?y?1|?2(x2?y2), 得 x2?6x?1?0. 解出得
x?3?10．所以，当 a?3?10 时, M?N??． ???? ④
因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 1?6?a?3?10，即 a?[1?6,3?10] 时,
M?N??．故填 [1?6,3?10].
2222【例8】已知集合A?{a1,a2,a3,a4},B?{a1,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4,
a1,a2,a3,a4?N.若A?B?{a1,a4},a1?a4?10.且A?B中的所有元素之和为124,求
集合A、B.
【解】?a1?a2?a3?a4,且A?B?{a1,a4},?a1?a1,又a1?N,所以a1?1.
2又a1?a4?10,可得a4?9,并且a2?a4或a3?a4.
2若a2?9,即a2?3,则有1?3?a3?9?a3?81?124,解得a3?5或a3??6(舍)
222}. 此时有A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,812若a3?9,即a3?3,此时应有a2?2,则A?B中的所有元素之和为100?124.不合题意.
}. 综上可得, A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.
【例9】满足条件|g(x1)?g(x2)|?4|x1?x2|的函数g(x)形成了一个集合M,其中
2x1,x2?R,并且x12,x2?1,求函数y?f(x)?x2?3x?2(x?R)与集合M的关系.
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〖分析〗求函数f(x)?x2?3x?2集合M的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.
2【解】?|f(x1)?f(x2)|?|(x12?3x1?2)?(x2?3x2?2)|?|x1?x2|?|x1?x2?3|
取x1?459,x2?时, |f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?4|x1?x2|. 662由此可见,f(x)?M.
〖说明〗本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数f(x)是否属于M,只要找至一个或几个特殊的xi使得f(xi)不符合M中的条件即可证明f(x)?M.
}及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按【例10】对集合{1,2,?,2008递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如{1,2,4,6,9}的“交替和”是
9?6?4?2?1?6,集合{7,10}的“交替和”是10－7=3,集合{5}的“交替和”是5等等.
试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合{1,2,?,n}求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合A的非空子集共有22008?1个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可
能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共
有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1; {1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设Ai是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令Ai与{4}?Ai相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.
}的子集中,除了集合{2008},还有2【解】集合{1,2,?,20082008?2个非空子集.将其分为两
类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果
}是第一类的集合;如果Bj是第一类中的集合,则Bj中除Ai是第二类的,则必有Ai?{20082008外,还应用1,2,??,2007中的数做其元素,即Bj中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A的所有子集的“交替和”为
12008(2?2)?2008?2008?22007?2008. 2n同样可以分析{1,2,?,n},因为n个元素集合的子集总数为2个(含?,定义其“交替和”
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