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第一章 总 论
为了使绘制出的曲线能清晰地反映出数据的规律性，绘制曲线时应根据因变量与自变量变化规律及变化幅度的大小，或根据经验判断出的该实验结果应具有的函数形式来选择适宜的坐标类型。在化工领域中常用的坐标类型有3种：普通直角坐标、半对数坐标和双对数坐标。
选择坐标类型应遵循以下两个原则。
①根据数据间的函数关系选择坐标类型 由于对直线进行数学处理及数据分析都比较方便，所以总是希望所选用的坐标能使数据标绘后呈直线形式。例如，符合线性方程y＝a＋bx关系的数据，选普通直角坐标标绘可获得一条直线；符合指数函数y＝abx关系的数据，选用半对数坐标，亦可获得一直线关系；对于符合幂函数y＝axb关系的数据，选普通直角坐标标绘出的是一条曲线，若选取双对数坐标标绘将获得一条直线。此外，需要将曲线开始部分划分成展开的形式，以及当需要变换某种非线性关系为线性关系时，应用对数坐标系。
②根据数据变化的范围选择坐标类型
如果两个变量的数据变化幅度较小，
可选择普通直角坐标；若数量级变化很大，一般应选用双对数坐标。如果实验数据的两个变量中，一个变量的数量级变化很大，而另一个变化较小，一般应使用半对数坐标。例如，对于管内流体流动的摩擦系数λ与雷诺数Re的关系，由于λ的变化可以从0.008～0.1，Re从102～108变化，两个变量的数量级变化都很大，所以宜用双对数坐标。 2、坐标的分度
坐标分度是指每条坐标所代表的数值的大小，即坐标的比例尺。对于同一套数据，以不同的比例尺绘制，会得到不同形状的曲线。如果比例选择的不当，不仅会使图形失真，而且还有可能得出错误的结论。
对下列数据，用不同的坐标比例尺标绘，曲线形状如图1、图2所示。 由图1、2可以看出，数据相同只是坐标的比例尺不同，标绘出的曲线形状就完全不同。如果只看曲线的变化趋势，可能会得出两种不同的结论。由图1可以看出，x对y由明显的影响，且x＝4时，y由最大值；而图2则表明，x对y没有什么影响。由此似乎可以得出x和y之间的函数关系取决于坐标比例尺的结论。事实上，由数学知识可知，自变量x和因变量y之间的函数关系仅取决于自变量x和因变量y的值，与坐标的比例尺无关。
自变量x 1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
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因变量y 8.0 8.1 8.2 8.3 8.1 8.0
y 8.615 8.4108.2
y8.057.8 7.600123456701234567xx 图1 大比例 图2 小比例
导致出现不同曲线形状的原因是在实验数据标绘时未考虑数据的误差。在已知x和y值误差的条件下，x和y之间的函数关系具有固定的形式，它不受所选的比例尺的特殊性和任意性的影响。因此，在标绘实验数据曲线时，考虑x和y的测量误差，就可以任意选择比例尺，它们所获得的变量之间的函数关系具有唯一性。
3、坐标选用时的其他注意事项
① 一般情况下，自变量取横轴，因变量取纵轴，按使用要求注明各坐标轴代表的物理量和单位。
坐标轴的比例关系。坐标轴的比例关系是指横轴和纵轴每刻度表示的长度的比例关系。一般说来，正确地选用坐标轴比例关系，有助于正确判断两个量之间的函数关系。例如标绘层流摩擦系数关系式
64Re，以λ对Re作图，在等比轴
??双对数坐标纸上是一条斜率为－45°的直线，容易看出λ与Re的指数关系为负一次方。若用不等比轴双对数坐标标绘，亦可得一条直线，但斜率不一定为45°，不易看出λ与Re的函数关系。
② 标绘实验曲线需要由足够的点，因此实验点不能过少。当多条曲线绘于同一坐标时，各曲线的实验点应以不同符号加以区别，使不同实验点所得曲线特征一目了然。
③ 图线光滑。利用曲线板等工具将各离散点连接成光滑曲线，并使曲线尽可能通过较多的实验点，或者使曲线以外的点尽可能位于曲线附近，并使曲线两侧的
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第一章 总 论
点数大致相等。
④ 定量绘制的坐标图，其坐标轴上必须标明该坐标所代表的变量名称、符号及所用的单位。
图必须有图号和图题（图名），以便于排版和引用。必要时还应有标注。
(三)实验数据整理成函数式
当一组实验数据用列表法和图形表示法后，在某些场合常需进一步用数学方程来描述各个参数和变量之间的关系。用数学公式表示变量之间的相互关系，不但简单，而且可以使用计算机。其方法就是将实验中得到的数据绘制成曲线，与已知函效关系式的典型的线(直线方程、指数方程、抛物线方程、圆及椭圆方程等等)进行对照，加以选择。同时求出方程的常数和系数。这样，经验公式就可以求得。
经验公式中求常效和系数的方法很多，最常用的是 直线图解法、平均值法和最小二乘法。 1、用图解法求系数
当所研究的函数关系是线型的，或者可以利用直线化方法化为线性时，均可用式y=ax+b表达。该直线的斜率((b)，即为方程中b值。
特别要注意在对数坐标纸上直线方程的斜率和截距的求取与直角坐标轴上的不同，前面已作过介绍，不再重复。 2、用平均值法求系数
选择能使其同各测定值的偏差的代数和为零的那条曲线为理想曲线。现假定画出的理想曲线为直线，设其方程为
y?a?b x 设测定值为xi,yi，将xi代入上式，所得的y值为yi',则 yi'?a?bxi
应该是yi'?yi。然而;一般由于测定误差，实测点偏离直线，因而yi'?yi。若设yi和
yi'的差为?i
?y)，即为方程中a值。直线在y轴上的截距?x ?i?yi?yi'?yi?(a?bxi) (7) 最好能引一使这个差值的总和为零的直线;设测定值的个数为N，由下式
??i??y?Na?b?xii?0 (8)
定出a，b,则以a，b为常数的直线即为所求的理想直线。
由于上式含有二个未知数a和b，所以需要把测定值按实验数据的次序分成
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相等或近似相等的两组，分别建立相应的方程式，把这两个式子联立起来，解之即得a,b。
例：转子流量计标定时，得到读数与流量关系如下，求实验方程。
读数x[格] 流量 y[m3/h]
解:把上表数据分成A、B两组，前面5个为A组，后面4个为B组。
(?x)?2?4?6?8?20A?00 2 4 6 8 10 12 14 16 30.00 31.25 32.58 33.71 35.01 36.20 37.31 38.79 40.04
(?y)00A?30.?(?x)?1?2B?10(?y)20B?36.?31?.25?32.58?33.?711?41?65237?.31?38.79?40.04
35.01152.34162.55 把这些数值代入式(8)
55a?5b?20?163.? ? （9）（10）
152.?34a?4b?520? 解联立方程(9)、(10)得
a=30.0 b=0.620 故所求的直线方程为:
y=30.0+0.620x 3、用最小二乘法求系效
偏差有“正\有“负”，数据处理时，正、负可能相消，而不足以表示效值偏差的实质，但偏差的平方均为正值，若偏差的平方和为最小，即各偏差为最小。最小二乘法就是这样来定义;最理想的曲线就是能使各点同曲线的偏差的平方和为最小。它是根据误差理论得出的。根据(7)式可知 ?i2?(yi?y'i) 取得最佳值的条件是
2i2?[yi?(a?bx)2]i
2????[y?(a?bx)]ii?最小 （11）
式(11)对a和b的偏微分同时为零时，这个条件就可以得到满足。
?(??i2)?ai??2?[yi?(a?bxi)]?0
i
?y?Na?b?x （12）
?(??)??2?x[y?(a?bx)]?0 ?b2iiii 18