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安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文
二次样条与三次样条插值研究
作者：季哲 指导老师：陈素根
摘要 样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。本文主要讨论在几种不
同边值条件下二次样条插值与三次样条插值的求解方法和分析在某特殊边值条件下二次样条插值与三次样条插值的变分性质，并分别对两种插值的余项进行较精确地估算。另外介绍二次B样条函数于三次B样条函数，并对二者的有关性质进行说明和证明。最后给出三次样条插值在实际中的应有。
关键词 二次样条函数 三次样条函数 变分性质 余项
1 引言
自上世纪60年代以来，由于航空造船等工程设计的需要，人们发展了样条插值技术。现在样条函数越来越流行，它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支，而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。
本文主要研究在几种某特殊边值条件下二次样条插值与三次样条插值求解方法；分析在某特殊边值条件下二次样条插值与三次样条插值的变分性质，并分别对两种插值的余项进行较精确地估算。
本文还主要介绍二次样条与三次样条的基本概念，常见的二、三次B样条及
Berzier样条等。最后研究二次样条与三次样条在数据插值中的应用，并举例说明。
2 二次样条与三次样条的计算方法
2．1 二次样条的计算方法
定义： 给定区间[ a,b ]一个分割△x0?a,x1,...,xn?b,二次样条函数S(x)满足以下条件：
1） 2） 3）
S(x)在每个区间[xi?1,xi]上是一个二次多项式；
S（x）在所有节点满足xi (i=1,2,…,n-1)上具有一阶连续导数； S（x）在所有节点满足S（xi）= yi (i=0,1,…,n)。
在每个小区间[xi?1,xi]上是一个二次多项式，有3个系数，因此要确定S(x)就要确定3n个待定参数，而由S（xi）= yi (i=0,1,…,n),得到n+1个方程；由S(xi?)?S(xi?)
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(i=1,2,…，n-1)得到n-1个方程；由S(xi?)=S( xi?)(i=1,2,…,n-1)得到n-1个方程,总共3n-1个方程,为了确定一个待定的样条插值函数,还需增加1个条件,这个条件通常是在区间[a,b]的两端处给出，即边界条件，边界条件根据实际问题的需求来确定，其类型很多，常见的边界条件类型有：
1） 2） 3） 4） 5）
给定初始断点的一阶导数值：S (x0)= y0 给定终端点的一阶导数值：S (xn)= yn 给定初始端点的二阶导数值：S(x0)= y0/ 给定终端点的二阶导数值: S (xn)= yn/
若插值函数为周期函数时，此时y0=yn ,给定：S (x0)=S(xn)
////////// 下面针对上面5种情况分别讨论二次样条插值问题。
/ 1）给定初始断点的一阶导数值：S (x0)=y0
/在区间[x0,x1]内，已知S(x0)=y0,S(x1)=y1和S/(x0)= y0，
/y1?y0?h0y022(x?x)hS(x)?00由Hermite插值公式可知 ?
//y0(x?x0)?y0（1）其中，hi?xi?1?xi（i=0,1,…,n-1）,此时，
/y1/?S(x1)?2(y1?y0)?y0/S(x1)?y1,S(x2)?y2两个条件可推导出区h0，同时加上
间[x1,x2]内的二次插值函数，依此类推得到区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)内二次样
yi?1?yi?hiyi/2/S(x)?(x?x)?yii(x?xi)?yi2hi条插值函数为 （2）
/
yi而?1可由式（3）递推得到。
yi/?1?S/(xi?1)?2(yi?1?yi)?yi/hi （3）
/2） 给定终端点的一阶导数值：S (xn)=yn
//S(x)?y,S(x)?yxxS(X)?yn?1n?1nnn?1nnn 在区间[，]内，已知和，由Hermite
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/yn?1?yn?hn?1yn/S(x)?(x?xn)2?yn(x?xn)?yn2hn?1插值公式可知 （4）
//yn?1?S(xn?1)? 此时，
2(yn?yn?1)/?ynyxhn?1，同样加上S（n?2）= n?2,
S(xn?1)?yn?1两个条件可推导出区间[xn?2,xn?1]内的二次插值函数，依次类推得到区
间[
xi,xi?1]（i=0,1，…，n-1）内二次样条插值函数为
yi?yi?1?hiyi/?12/S(x)?(x?x)?yi?1i?1(x?xi?1)?yi?12hi (5)
/yi而可由式(6)递推得到.
yi/?S/(xi)?
2(yi?1?yi)?yi/?1hi (6)
3) 给定初始端点的二阶导数值：S//(x0)=y0//
////x,xxyS(x)?yS(x)?y01001100 在区间[]内，已知S()=，和，利用待定系数法，//2//y02(y1?y0)?h0y02S(x)?(x?x0)?(x?x0)?y022h0二次样条插值公式为 （7）
//2(y1?y0)?h02y0 此时y? （8）
2h0/0 这就转化为第一种情况，可由式（2）、（3）得到二次样条插值函数。
////
4）给定终端点的二阶导数值:S(xn)=yn
// 在区间[xn?1,xn]内，已知S(xn?1)?yn?1,S(xn)?yn和S//(xn)?yn，二次样条插//2//yn2(yn?yn?1)?hn2?1yn值公式为S(x)?(x?xn)?(x?xn)?yn （9）
22hn?12//2(yn?yn?1)?hny?1n 此时y? （10）
2hn?1/0这就转化为第二种情况，可由式（5）、（6）得到二次样条插值函数。
5) 已知y0?yn，给定：S/(x0)=S/(xn) 由式（3）可知：yn?/2(yn?1?yn?2)2(yn?yn?1)///，y??y?ynn?1n?2，以此递?1hn?2hn?13
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推，得到：
（1） 当n为偶数时，
/yn?2(yn?yn?1)2(yn?1?yn?2)2(yn?2?yn?3)2(y2?y1)2(y1?y0)/???...???y0hn?1hn?2hn?3h1h0若满足：S/(x0)?S/(xn)，只有
yn?yn?1yn?1?yn?2yn?2?yn?3y?yy?y???...?21?10?0 (11) hn?1hn?2hn?3h1h0//成立时，有解，并且y0无限制，任意一个y0可得到一组样条插值函数。
若式（11）不满足，无解，找不到满足条件的样条插值函数。
（2） 当n为奇数时，
/yn?2(yn?yn?1)2(yn?1?yn?2)2(yn?2?yn?3)2(y2?y1)2(y1?y0)2(y1?y0)/???...????y0hn?1hn?2hn?3h1h0h0若满足：S/(x0)?S/(xn),，得到
/y0?yn?yn?1yn?1?yn?2yn?2?yn?3y?yy?y???...?21?10（12） hn?1hn?2hn?3h1h0这就是转化为第一种情况，可由式（2），（3）得到二次样条插值函数。 以下是举例说明：求满足下面条件的二次样条函数S(x)：
S(1)?8,S(2)?24,S(4)?32,S(5)?16,S(7)?30。
/1）y0?17的情形
////由式（3）得到y1?15,y2??7,y3??25,y4?39 由式（2）得到二次样条
??x2?19x?10;1?x?2?2??5.5x?37x?28;2?x?4插值函数：S(x)= ? 2?9x?65x?84;4?x?5?2??16x?185x?541;5?x?7/2）y4??1的情形
///由式（6）得到y3?15，y2??47，y1/?55 ，y0??23
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