发布时间 : 星期一 文章江苏无锡外国语学校初三开门测 数学试题更新完毕开始阅读
26．解：（1）x；
（2）如图①，延长 FE 交 AB 于 G，由题意得AP=2x， ∵D 为 PQ 中点， ∴DQ=x， ∴GP=x，
∴2x+x+2x=4， ∴x= ；
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（3）如图②，当 0＜x≤ 时，y=S =DQ=x，∴y=x；
如图③，当 ＜x≤1 时，过 C 作 CH⊥AB 于 H，交FQ 于 K，则 CH= AB=2， ∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，
∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4， ∴y=S
﹣S =DQ2﹣ FM2
，
∴y=x2
﹣ （5x﹣4）2
=﹣ x2
+20x﹣8，∴y=﹣
x2
+20x﹣8；
如图④，当 1＜x＜2 时，PQ=4﹣2x， ∴DQ=2﹣x， ∴y=S = DQ2
， ∴y= （2﹣x）2， ∴y= x2
﹣2x+2；
（4）当 Q 与 C 重合时，E 为BC 的中点， 即 2x=2，∴x=1， 当 Q 为 BC 的中点时，BQ=，
PB=1， ∴AP=3，
∴2x=3，∴x= ，
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∴边 BC 的中点落在正方形 DEFQ 内部时 x 的取值范围为：1＜x＜ ． 27．（这题目我要自己做一下）如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC 绕点A逆时针旋转 60°，使点 B 落在点 E 处，点 C 落在点 D 处．P、Q 分别为线段 AC、AD 上的两个动点，且 AQ=2PC， 连接 PQ 交线段 AE 于点 M．
（1） 设 AQ=x，△APQ 面积为 y，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （2） 若以点 P 为圆心，PC 为半径的圆与边 AB 相切，求AQ 的长； （3） 是否存在点 Q，使得△AQM、△APQ 和△APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ
的长；若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）如图 1 过点 Q 作 QH⊥AC，垂足为H，（1 分） ∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°， ∴∠DAC=60°，△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=30°，∠EAC=30°， ∴在直角三角形 AQH 中 ， ∴QH= ．（1 分） ∵AQ=2PC，AC=4，
∴PC= x，AP=AC﹣PC=4﹣ x，（1 分） ∴y=
（）2
（4﹣x）?x=﹣x+
2x（0＜x≤4）；
如图 2 过点 P 作 PF⊥AB，垂足为 F．（1 分） ∵以点 P 为圆心，PC 为半径的圆与边AB 相切， ∴PC=PF（1 分） 在直角三角形 APF 中， ，
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∴ ．（2 分）
即：若以点 P 为圆心，PC 为半径的圆与边AB 相切，则 AQ 的长为 ； （）3 假设存在点 Q，使得△AQM、△APQ 和△APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似． ①如图 3，当△AQM 与△APQ 相似时， ∵∠AQM=∠PQA，∠QAM≠∠QAP， ∴∠QAM=∠QPA=30°， ∴∠PQA=90°，
∴sin∠QPA= = = ， ∴ ；（2 分）
②当△APQ 与△APM 相似时， ∵∠APQ=∠APM，∠QAM≠∠QAP， ∴∠PAM=∠PQA=30°， ∴∠QPA=90°， ∴sin∠PQA=
= =
，
∴x=4；（2 分）
③如图 4，当△AQM 与△APM 相似时， ∵∠QAM=∠PAM=30°，∠AQM≠∠AMP， ∴∠AQM=∠APM， ∴AQ=AP， ∴ ．（1 分）
∴当 AQ 为 或 4 或 时，△AQM、△APQ 和△APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似．
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28．解：（1）直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+3． （2） 如图所示：过点 D 作 DH∥x 轴，则∠HDF=∠BGF． ∵HD∥EF∥CG，D 为 CD 的中点， ∴F 为 DG 的中点． ∴FG=DF．
∵在△BGF 和△HDF 中，∠HDF=∠BGF，DF=FG，∠HFD=∠GFB， ∴△BGF≌△HDF． ∴HD=BG．
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