发布时间 : 星期五 文章2020年中考数学模拟试题汇编专题39：开放性问题(含答案)更新完毕开始阅读
开放性问题
一.解答题
1.（2020·河北石家庄·一模）如图，抛物线y=﹣x2+
x+1与y轴交于A点，过点A的
直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0） （1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；
（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+
t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；
t=，解方程
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣ t2+即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可． 【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1， ∴A（0，1）， 当x=3时，y=﹣×32+
×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b， 则：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形． ①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=， 又在Rt△MPC中，MC=
，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
t=，
t+1﹣（t+1）=﹣t2+
t（0≤t≤3）；
②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=， 又在Rt△MPC中，MC=
，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．
2.（2020·河北石家庄·一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，
【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． 在旋转过程中，如图2，当
时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．
时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理
【操作2】在旋转过程中，如图3，当由．
【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出EP与EQ满足的数量关系是什么？当时，
其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m．
第2题
【考点】相似形综合题．
【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；
（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE； （总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析． 【解答】（操作1）EP=EQ，
BE=CE， ∠PBE=∠C=45°，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：∵∠BEC=∠FED=90° ∴∠BEP=∠CEQ， 在△BEP和△CEQ中
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA）， ∴EP=EQ；
如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2， 理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N， ∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF， ∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N， ∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°， ∴∠EPB+∠EQB=180°， 又∵∠EPB+∠MPE=180°， ∴∠MPE=∠EQN， ∴Rt△MEP∽Rt△NEQ， ∴
=
，
Rt△AME∽Rt△ENC， ∴∴
=m=
， ，
=1：m=
EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP， ∴0＜m≤2+
，（因为当m＞2+
时，EF和BC变成不相交）．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似． 3.（2020·河大附中·一模）(本题满分9分)
如图(1)，线段AB=4，以线段AB为直径画☉O，C为☉O上的动点，连接OC，过点A作☉O的切线与BC的延长线交于点D，E为AD的中点，连接CE．
(1)求证：CE是☉O的切线；