发布时间 : 星期三 文章西方经济学第四章生产理论练习4更新完毕开始阅读
六、计算题：
1.已知某企业的生产函数Q＝LK，劳动的价格W＝2，资本的价格r＝1，求： (1)当成本C＝3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的值。
(2)当产量Q＝800时，企业实现最少成本时的L、K和C的值。
解：(1)MPL＝?Q/?L＝（2/3）L-1/3K1/3 MPk＝?Q/?K＝(1/3)L2/3K-2/3
2L＋K＝3000 MPL/2＝MPk /1
2L＋K＝3000
（2/3）LK /2=(1/3)LK
2L＋K＝3000 L＝K
∴L＝1000＝K
Q＝10002/3·10001/3＝1000
(2)800＝L2/3K1/3 L＝K
L＝800K＝800 C＝2L＋K＝3×800＝2400
2.已知生产函数Q＝-L＋24L＋240L，求：在生产的三个阶段上，L的投入量分别应为多少?
解：在第Ⅰ阶段，APL应达到极大值，即APL′＝0 APL＝(Q/L)＝-L＋24L＋240
APL′＝-2L＋24＝0 ∴L＝12检验当L＜12时，APL是上升的。 在第Ⅱ阶段，MPL应该等于零
MPL＝(dQ/dL)＝-3L2＋48L＋240令MPL＝0即-3L2＋48L＋240＝0 解得L＝20当L＞8时，(dMPL/dL)＝-6L＋48＜0 所以，MPL对于所有的L＞20均小于零
因此，第Ⅰ阶段0＜L＜12；第Ⅱ阶段12＜L＜20；第Ⅲ阶段L＞20。 3.已知生产函数Q＝KL- 0.5L-0.32K，若K＝10，求： (1)劳动的平均产量函数和边际产量函数
(2)分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到极大值时，劳动的投入量。 (3)证明当APL达到极大值时，APL＝MPL。
解：根据已知条件Q＝10L-0.5L2-32
(1) APL＝(Q/L)＝-0.5L+10-(32/L)； MPL＝(dQ/dL)＝10-L (2)当MPL＝0时，即10-L＝0时，TP有极大值解得L＝10 令APL′＝0时，即-0.5+32／L2＝0解得L＝8，AP达到极大 MPL′＝-1，说明MPL 处于递减阶段
(3)当APL达到极大值时，L＝8 APL＝-0.5＋8+10-32／8＝2 此时的 MPL＝10-L＝10-8＝2
所以，当MPL＝APL时，APL达到极大值
4.下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表： （1）在表中填空。
（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？
2
2
2
3
2
-1/31/3
2/3-2/32/31/3
/1
可变要素的数量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：（1）填表如下： 可变要素的数量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 可变要素的总产量 24 60 70 63 可变要素的总产量 2 12 24 48 60 66 70 70 63 可变要素的平均产量 2 12 可变要素的平均产量 2 6 8 12 12 11 10 35/4 7 可变要素的边际产量 10 6 0 可变要素的边际产量 0 10 2 24 12 6 4 0 -7 (2)该生产函数表现出边际报酬递减。是从第5个单位的可变要素投入量开始，此时，平均产量开始大于边际产量。
5. 解：(1)图中存在规模报酬递减与不变。
如70=f(1,2)与130=f(2,4)，此时生产要素增加比例为2，而产量增加比例为130/70，小于2，因此存在规模报酬递减。又如，50=f(1,1) 与 100=f(2,2) 此时生产要素增加比例为2，而产量增加比例为 100/50，等于2，因此存在规模报酬不变。
（2）图中存在边际报酬递减。如k=1保持不变，当L发生改变时，在0→1、1→2、2→3、3→4四段中，边际产量分别为50、20、10、5，可以看出边际报酬递减。
（3）f(2,1)与f(1,2)、f(3,1) 与f(1,3)、f(4,1) 与f(1,4)、f(3,2) 与f(2,3)、f(4,2) 与f(2,4)、f(4,3) 与f(3,4)分别处于Q=70、Q=80、Q=85、Q=120、Q=130、Q=165等产量曲线上。
6.已知生产函数Q＝f(L,K)=2KL- 0.5L2-0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10，求：
(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。
(2)分别计算当总产量TPL、劳动平均产量APL和劳动边际产量MPL各自达到极大值时的厂商劳动的投入量。
(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？
解：（1）短期生产中K是不变的，短期关于劳动的总产量函数为：
TPL?fL,K?2?10L?0.5L?0.5?10?20L?0.5L?50
??222劳动的平均产量函数为： APL?TPLL?20L?0.5L?50L2?20?0.5L?50L
劳动的边际产量函数为：MPL??TPL????20L?0.5L2?50???20?L （2）当MPL?0时，即20?L=0?L=20时，TPL达到极大值 当APL?MPL时，即20?0.5L?50L?20?L，L=10时，APL达到极大值
?MPL????20-L????1，说明MPL处于递减阶段
（3）APL?MPL?L?10
7.已知生产函数为：(a)Q=4KL,(b)Q=min(3K,4L).分别求厂商的扩展线函数。 解：（a）对于生产函数(a)Q=4KL, MPK=2L1/2K-1/2 MPL=2K1/2L-1/2 ∵MPK/ MPL=PK/PL ∴2L1/2K-1/2/2K1/2L-1/2= PK/PL 即 L/K= PK/PL 则 K=
PLPKL为厂商的扩展线函数。
(b)生产函数Q=min(3K,4L)是定比生产函数，厂商按照K/L=4/3固定投入比例进行生产，且
44厂商的生产均衡点在直线K=L上，即厂商的扩展线函数为K=L。
331328.已知生产函数为Q?ALK3。判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
132解：（1）Q?f?L,K??ALK3
f??L,?K??A??L?3??K1?32123??ALK3??f?L,K?
所以，在长期生产中，该生产函数属于规模报酬不变。 （2）假定资本的投入量不变，用K表示，L投入量可变，
12所以，生产函数Q?AL3K3，这时，劳动的边际产量为MPL?dMPLdL2953213?22AL3K3
??AL?K3?0，说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加，劳动
的边际产量递减。 同理，MPL?231AL3K?13，
dMPKdK??291AL3K?43?0，说明：当劳动使用量即定时，随着
使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。 综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。
9．已知某厂商的生产函数为
Ｑ＝ｆ（Ｋ，Ｌ）＝１５ＫＬ／（２Ｋ＋Ｌ）
求解
①劳动的边际产量（ＭＰＬ）及劳动的平均产量（ＡＰＬ）函数。 ②劳动的边际产量增减性。
解：（1）MPL=dQ/dL=[15K(2K+L)-15KL·1]/(2K+L)=30K/(2K+L)
APL=Q/L=15K/（2K+L）
（2）令K不变，由MPL=30K2/(2K+L)2，得，
MPL′=[-30K×2（2K+L）]/（2K+L）＜0，即MPL函数为减函数。
10．已知厂商的生产函数为
Ｑ＝Ｌ３／７Ｋ４／７
又设ＰＬ＝3元，ＰＫ＝4元。求如果该厂商要生产１５０单位产品，那么他应该使用多少单位的劳动和资本才能使其降到最低？
解：根据生产要素最佳组合原理，即MPL/=MPK=PL/PK，则，
（3/7）KL/（4/7）LK=3/4，得，K=L 代入Q=150=Ｌ３／７Ｋ４／７，得，K=L=150
最小支出为M=L·PL+K·PK=3×150+4×150=1050
11．已知生产函数Ｑ＝ＬＫ，试证明：该生产过程规模报酬不变。 证明：（λL）0.5（λK）0.5=λQ 故，生产过程规模报酬不变。
０．５０．５2
4
2
2
2
4/7-4/73/7-3/7