发布时间 : 星期二 文章2018年数学一轮复习专题3.3导数的综合应用（练）更新完毕开始阅读
专题3.3 导数的综合应用
1．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝a＋xln x(a∈R)． (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)的零点个数．
解 (1)由函数f(x)＝a＋xln x∈(a∈R)得f′(x)＝1
2x(ln x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝e－2
，列表如下：
x (0，e－2) e－2 (e－2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值 因此，函数f(x)的单调递增区间为(e－2，＋∞)，单调递减区间为(0，e－2)．
所以当a≤0时，函数f(x)零点个数为1. ②当0 时， - 1 - 2．(2016·天津卷节选)设函数f(x)＝x－ax－b，x∈R，其中a，b∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0. (1)解 由f(x)＝x－ax－b，可得f′(x)＝3x－a. 下面分两种情况讨论： ①当a≤0时，有f′(x)＝3x－a≥0恒成立， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ 3a3a或x＝－. 33 2 3 2 3 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) 所以f(x)的单调递减区间为?－3a???－∞，－? 3??＋ －3a 30 极大值 3a3a???－，? 3??3－ 3a 30 极小值 ?3a??，＋∞? ?3?＋ ??3a3a?3a??3a??，?，单调递增区间为?－∞，－?，?，＋∞?. 33?3??3??(2)证明 因为f(x)存在极值点， 所以由(1)知a>0，且x0≠0. 由题意，得f′(x0)＝3x0－a＝0，即x0＝， 3 2 2 a - 2 - 进而f(x0)＝x0－ax0－b＝－ 3 2ax0－b. 3 8a3 又f(－2x0)＝－8x0＋2ax0－b＝－x0＋2ax0－b＝ 32a－x0－b＝f(x0)，且－2x0≠x0， 3 由题意及(1)知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝－2x0，所以x1＋2x0＝0. 3．(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝x在x＝0处的切线方程为y＝x. e(1)求实数a的值； (2)若对任意的x∈(0,2)，都有f(x)< 1 成立，求实数k的取值范围； k＋2x－x2 ax(3)若函数g(x)＝lnf(x)－b的两个零点为x1，x2，试判断g′? ?x1＋x2?的正负，并说明理由． ??2? 由题意得函数g(x)＝lnf(x)－b＝ln x－x－b， 11－x所以g′(x)＝－1＝， xx易得函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以要证g′? ?x1＋x2?<0，只需证明x1＋x2>1即可． ?2?2? ??x1＋b＝ln x1， 因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以? ?x2＋b＝ln x2，? - 3 - 4．(2016·江苏卷)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)． (1)设a＝2，b＝1 2. ①求方程f(x)＝2的根； ②若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值； (2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．解 (1)①由已知可得2x＋??1?2??x? ＝2， 即2x＋12 x＝2. ∴(2x)2 －2·2x＋1＝0， 解得2x＝1，∴x＝0. ②f(x)＝2x＋??1?2??xx－x? ＝2＋2， 令t＝2x＋2－x，则t≥2. 又f(2x)＝22x＋2 －2x＝t2 －2， 故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2 －2≥mt－6， 即m≤t＋44 4 t，又t≥2，t＋t≥2t·t＝4. (当且仅当t＝2时等号成立)． - 4 - ?4?∴m≤?t＋?min＝4. ? t? 即m的最大值为4. (2)∵0＜a＜1，b＞1，∴ln a＜0，ln b＞0. g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2. g′(x)＝axln a＋bxln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数． ∴g′(x)一定存在唯一的变号零点． ∴g(x)为先减后增且有唯一极值点． 由题意g(x)有且仅有一个零点．， 则g(x)的极值一定为0， 而g(0)＝a＋b－2＝0，故极值点为0. ∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0.∴ab＝1. 5．(2017·衡水中学质检)已知函数f(x)＝ 0 0 x＋ae x. (1)若f(x)在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围； (2)若a＝0，x0<1，设直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0处的切线，求证：f(x)≤g(x)． 6．(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝(x－2)e＋a(x－1). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． - 5 - x2