发布时间 : 星期五 文章行列式的若干种计算方法更新完毕开始阅读
为了得出关于三元线性方程组
的类似解法,我们引入三阶行列式
a11a12a21a22a31a32a13a23?a11a22a33?a21a32a13?a12a23a31?a13a22a31?a23a32a11?a12a21a33 a33.
a1b1D?a2b2a3b3c1c2?0 c3若方程组的系数行列式
则方程组有唯一解
x?DD1Dy?2z?3D,D,D.
其中
d1D1?d2d3b1b2b3c1a1c2D2?a2c3,a3d1d2d3c1a1c2D3?a2c3,a3b1b2b3d1d2 d3.
例1.2 计算三阶行列式
1?2121?3?1?1?(?1)?(?2)?(?3)?(?1)?1?2?1?1?1?(?1)?(?2)?2?(?1)?1?(?3)?1 ?11?1 ??5.
从上面的例子可以看出如果未知量的个数与方程组的个数相等,且它们的系数行列式不等于0,那么用行列式求解是方便的.但在实际应用中遇到的线性方程组的个数往往较多,因此需要把二阶和三阶行列式加以推广,从而引入了n阶行列式的概念.
二、n阶行列式的概念及其解法
（一）逆序数:在一个排列中如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列j1j2?jn的逆序数记为?(j1j2?jn).[2] （二）n阶行列式的定义
2
a11a21?an1a12??a1n?a22?a2nan2?ann
等于取自不同行不同列的n个元素的乘积a1ja2j?anj的代数和,这里j1j2?jn是
12n1,2,?,n的一个排列.
上述定义可表示为
a :
11a12?a1na21a22?a2n??? ?1j2?jn)a1jj?(?1)?(j1a2j2?anjn1j2?jnan1an2?a.
nn这里?(j1j2?jn)表示n阶排列的逆序数,j?
表示对所有n阶排列求和.
1j2?jn
（三）n阶行列式的性质
性质1 行列互换行列式不变,即
a11a12?a1na11a21?an1a21a22?a2na22?an2???=a12??? an1an2?anna1na2n?ann.
由性质1可以得到下三角行列式
a1100?0a21a220?0?????a11a22?ann
an1an2an3?ann.
性质2 一行的公因式可以提出来,即
a11a12?a1na11a12?a1n??????kai1kai2?kain?kai1ai2?ain ??????an1an2?annan1an2?ann.
事实上如果k?0就有如果行列式中有一行（列）为0那么行列式为0.
推论:行列式的某一行（列）的元素等于0则行列式等于0. 性质3 把一行（列）的倍数加到另一行（列）行列式不变. 即
3
a11?ai1?cak1?ak1?an1a12?a1n??ai2?cak2?ain?cakn?ak2?an2???akn?ann?a11?ai1?ak1?an1a12?ai2?a1n??ain??ak2?akn??an2?ann.
性质4 对换行列式中两行（列）的位置行列式反号. 即
a11a12?a1na11a12?a1n??????ai1ai2?ainak1ak2?akn?ak1?an1?????ak2?aknai1???an2?annan1?ai2???ain?.
以上行列式的四种性质在行列式的初等变换中会用到,会简化计算步骤.
性质5 如果行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两组数作为该行,而其余各行与原行列式对应各行相同. 即
a11a12?a1na11a12?a1na11a12?a1n?????????b1?c1b2?c2?bn?cn?b1b2?bn?c1c2?cn ?????????an1an2?annan1an2?annan1an2?ann.性质6 如果行列式中有两行（列）相同那么行列式为0.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.
性质7 如果行列式中两行（列）成比例那么行列式为0. 即
a11a12?a1na11a12?a1n??????ai1ai2?ainai1ai2?ain?kai1?an1???k?kai2?kainai1???an2?annan1?ai2???0 ?ain?an2?ann.
行列式有其这些特有的性质,可以帮助我们快速的求解一些行列式.
an2?ann三、n阶行列式的解法
（一）定义法求解行列式
例3.1 解行列式
4
00a0b000f00c0d?0e(?1)?(j1j2j3j4)aj11aj22aj33aj44 j1j2j3j4.
?观察行列式中元素0的位置,以及由4级排列中个数不能相等,可知
j1?3,j2?1,j3?4,j4?因此2,?(j1j2j3j4)??(3142)?3,则
00a0b000f00c0d?(?1)3a31a12a43a24??abcd 0e.
（二）化三角形法求解行列式
思路:化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.
例3.2 计算行列式
121371852 D?58213024解: 首先给第1行分别乘-7,-5,-3分别加到第2,3,4行上再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可.
121371852D???582130241213121312130?2?3?140?2?3?140?2?3?14????04?2?1900?8?4700?8?470?6?1?1500837000?10?160
（三）利用初等变换求解行列式
思路:利用行列式的性质对行列式进行变换直到转换成上三角或下三角行列式. 例3.3 计算行列式
-21325-137 -5-913-158-7-10解:第一步是互换第1,2行以下都是把一行的倍数加到另一行.
-2132
5-131?91373?51?9137-913-1587?25?1??-53?15280?132517??026?34?26026?33?245
-7-10?7?10