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第十四讲二次函数的性质
【基础知识回顾】
一、二次函数的定义：
一般地如果y=（a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数
【名师提醒：二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x的最高次数是，按一次排列 2、强调二次项系数a0】
二、二次函数的同象和性质：
1、二次函数y=kx +bx+c(a≠0)的同象是一条，其定点坐标为对称轴式
2
2、在抛物y=kx +bx+c(a≠0)中：
2
①、当a>0时，y口向，当x
②、当a<0时，开口向当x
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax2 ,对称轴定点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴定点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k对称轴定点坐标】 三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系： a:开口方向向上则a0,向下则a0 ｜a｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】 【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例1 （2015?常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 对应训练
1．（2015?衢州）已知二次函数y=?1215x-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x122＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
1215x-7x+， 22b?7∴此函数的对称轴为：x=?=???7， 2a12?(?)22．解：∵二次函数y=?∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0， ∴对称轴右侧y随x的增大而减小， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A．
考点二：二次函数的图象和性质
例2 （2015?咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
对应训练
2．（2015?河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=
1（x-3）2+1交于点A（1，3），过点2A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC； 其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
1．解：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2=故y2-y1=
122，故本小题错3111（0-3）2+1=，2211，故本小题错误； 2④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=
1（x-3）2+1交于点A（1，3）， 2∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3， ∴B（-5，3），C（5，3） ∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确． 故选D．
考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系
例3 （2015?玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：
①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2， 则正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
思路分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项． 解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误； ∵抛物线的对称轴为x=?b=1，∴2a+b=0，选项②正确； 2a由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误； 令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0， ∵方程的两根为x1，x2，且?∴x1+x2=?bb=1，及?=2， 2aab=2，选项④正确， a综上，正确的结论有②④． 故选C 点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴
左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
对应训练
3．（2015?重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=?结论中，正确的是（ ）
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
1．下列2
3．D
3．解：A、∵开口向上， ∴a＞0，
∵与y轴交与负半轴， ∴c＜0，
∵对称轴在y轴左侧， ∴?b＜0， 2a∴b＞0， ∴abc＜0，
故本选项错误； B、∵对称轴：x=?b1=?， 2a2∴a=b，
故本选项错误；
C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0， 故本选项错误； D、∵对称轴为x=?1，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1， 2∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜-2， ∴当x=-2时，4a-2b+c＜0， 即4a+c＜2b， 故本选项正确． 故选D．
考点四：抛物线的平移
例4 （2015?桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1