发布时间 : 星期一 文章空间向量及立体几何练习试题和答案解析更新完毕开始阅读
10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ． （1）当θ=90°时，求A′C的长；
（2）当cosθ=时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．
【分析】（1）过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE，利用勾股定理及余弦定理计算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；
（2）利用余弦定理可得A′F=，从而得出A′F⊥平面ABCD，以F为原点建立坐标系，求出和平面A′BD的法向量，则BC与平面A′BD所成角的正弦值为|cos＜＞|．
【解答】解：（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE． ∵AB=4，AD=2，∴BD==10． ∴，BE==8，cos∠CBE==．
在△BCE中，由余弦定理得CE==2．
∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE． ∴|A′C|==2． （2）DE==2．
∵tan∠FDE=，∴EF=1，DF==． 当即cos∠A′EF=时，．
∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°
又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F ∴A'F⊥平面ABCD．
以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：
∴A′（0，0，），D（﹣，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）． ∴=（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）． 设平面A′BD的法向量为=（x，y，z），则， ∴，令z=1得=（﹣，2，1）． ∴cos＜＞===．
∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题．
11．如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1． （Ⅰ）求证：AC⊥DC1；
（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）证明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可证明AC⊥DC1． （Ⅱ）易得∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），， 利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1． （Ⅲ）利用向量求解
【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1， 由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1， 所以AC⊥平面CC1D，
又C1D?平面CC1D，所以AC⊥DC1．
（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，
依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），B1（2，0，1），， 所以，，
设平面DBB1的法向量为， 由即
令y=1，则，x=0，于是， 因为M为DC1中点，所以，所以，
由，可得，
所以AM与平面DBB1所成角为0， 即AM∥平面DBB1．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D的法向量为． 设，λ∈[0，1]， 则，．
若直线DP与平面DBB1成角为，则， 解得，
故不存在这样的点．
【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角．属于中档题
12．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD （ I）证明：AE⊥CD
（ II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；
（II）取AD的中点O，连接EO，以O为原点建立坐标系，设，求出平面BDEF的法向量，令|cos＜＞|=，根据方程的解得出结论． 【解答】（I）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD， ∴CD⊥平面AED，∵AE?平面AED， ∴AE⊥CD．
（II）解：取AD的中点O，过O作ON∥AB交BC于N，连接EO，
∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平
面AED，
∴OE⊥平面ABCD，
以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示： 设正方形ACD的边长为2，，
则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），E（0，0，1），M（﹣λ，0，1﹣λ）
∴=（﹣λ﹣1，0，1﹣λ），=（1，0，1），=（2，2，0）， 设平面BDEF的法向量为=（x，y，z）， 则，即，令x=1得=（1，﹣1，﹣1）， ∴cos＜＞==， 令||=，解得λ=0，
∴当M与点E重合时，直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．
13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．
（1）设点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB；
（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB；
（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为，可得结论．
【解答】（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA． ∵EM?平面PAB，PA?平面PAB， ∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．