发布时间 : 星期五 文章2017年全国统一高考数学试卷理科新课标ⅲ【新品】更新完毕开始阅读
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （2）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则
=
．根据平面AEC把
四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得===1，即点E是
BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO=AC．
∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD．
又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．
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又OB?平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
=
．
∴===1．
∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，E
．
=（﹣1，0，1），
=
，
=（﹣2，0，0）．
，即
，取，0），
设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则=
．
）．
同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，∴cos
=
=
=﹣．
．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角
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公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由
?
=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利
?
=0，则坐标原点O在圆M上；
用韦达定理及向量数量积的可得
方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得（2）由题意可知：
?
?
=0，则坐标原点O在圆M上；
=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，
求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则∴
=（2，2），⊥
，
=（2，﹣2），则
?
=0，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由则
?⊥
=x1x2+y1y2=0，
，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，
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，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2=﹣4，
则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则则
⊥
?
=x1x2+y1y2=0，
，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上； （2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=圆M过点P（4，﹣2），则由
?
，y1+y2=，y1y2=﹣4，
=（4﹣x2，﹣2﹣y2），
=（4﹣x1，﹣2﹣y1），
=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2=，y1+y2=﹣1，
则M（，﹣），半径为r=丨MP丨=∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=
．
=
，
当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若 f（x）≥0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+
）…（1+
）＜m，求
，
，
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