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装 订 线
“工大出版社杯”第十六届西北工业大学数学 建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目
(C)题
密封号
2015年5月4日
剪 切 线 密封号
2015年5月4日 理 学院 第 队
姓名 班级
装 订 线
队员1 邓迎喜 131004 队员2 李志民 131003 队员3 冷隽中 131001
西北工业大学轻轨线路设计及其建成后影响
摘 要
本文从西北工业大学的客观实际条件出发，先进行定性分析，再经过充分搜集、分类整合、科学处理相关数据，将轻轨线路设计问题及其影响由定性分析逐步转化为定量描述。其间以数形结合作为核心思想贯穿始终，综合应用了优化、统计、数值分析、坐标化等数学分支思想，并在百度地图、MATLAB、EXCELL等辅助工具下进行数据的整合处理，使得对问题的理解由浅入深、环环相扣，并最终把问题用自然而简洁的方式解决，对实际问题数学化的解决具有一定的指导意义。
问题一是有约束条件的选址问题。利用百度地图，相关站点标定、测距，建系。经网格处理，得到该坐标系下秦岭环山路的几个坐标点。接着，利用拉格朗日插值法，MATLAB中拟合出一个近似函数y=?（x）。最后，根据题意得出的关于?（x）与主线路坐标点之间的约束条件，把选址问题转化为求临界值的问题并在MATLAB中编程实现。
问题二归类于典型的最优化问题。解答此问题有两个关键点：有效数据的搜集及二元线性规划模型的建立。
对于问题三，鉴于题目附件给出的数据多而且涉及较多影响因素，我们考虑运用分类整合数据的方法加以综合加权法，在庞大的数据中，找到学生乘车时间T及学校运营校车费用W的主要影响因素的参考值进行处理并进行研究，从而达到简化问题的目的。
关键词：测距建系、网格处理、图像拟合、拉格朗日插值法、线性规划图解法、二元线性规划模型、分类整合数据、MATLAB、综合加权平均法
一、问题背景
由于关中地区自然环境的制约，西安市城区东西北三向发展受限，而南部的长安区却是一片非常有发展潜力的土地。然而，长安区通往城内的交通仍十分落后，当前的交通工具主要是汽车。据调查，只有7.69%的人对目前的交通状况表示满意，大部分人认为应该改善，且有高达84.62%的受调查人群认为长安区未来理想的交通工具是地铁或者轻轨。为实现西安的长远发展，达到节能减排的目的，应重新规划交通网络。
轻轨是一种城市快速交通工具，与其他交通工具相比，具有占地面积小、造价低、速度快、能耗低、安全系数高等诸多优点。轻轨修建符合长安区建设的现状和长远规划，符合国家节能减排战略及建设节约化社会的要求，对西安的治霾工作有积极的推进作用。
西北工业大学长安校区位于长安区秦岭北麓下，周边既有高新科技产业基地，又有多所高校，人口流量巨大。单就西北工业大学而言，目前学校实行两校区运营机制，每天都有大量的教工和学生由于上课、实习等原因往返于新老校区之间。但购入校车不仅花费大，而且交通拥堵，消耗了师生大量的时间和精力，对学校的教学、科研、学生培养、交流等产生了不小影响。随着轻轨的建成，在方便师生的同时，必将对西北工业大学的教育教学、科学研究等产生深远的影响。
二、问题重述
请结合附件内容，研究如下问题：
1. 规划线路中西留村沿正太、西太路一线通至草堂科技产业基地。其间西太路线路距西北工业大学长安校区最短距离约3.8km，现在要在西留村至草堂科技产业基地两站点间选定一点，支路直通至西北工业大学长安校区。请从线路中标定一点，设计出一条线路。
2.计算该线路采用地面和高架两种方式铺设的费用。费用主要包括民房拆迁，征地和工程建设等费用。最后给出费用最小的道路及施工方式，费用预算。 3.，预测该线路修建成功后，给全校学生带来的便利，对学校交通费用产生的直接影响，以及对学校教学、科研、学生培养等综合效益的影响。 4.还有什么可以研究的问题？试提出合理建议。
三、问题分析
3. 1 问题一的分析
问题一要求在主线路基础上，于西留村和草堂科技产业基地两站点间选定一点，修建一条直通西北工业大学长安校区的支路。由附件六《关于草堂线工可研工作的情况汇报》知秦岭环山路以北10公里内作为生态保护区严格控制，故需要在选址问题上考虑避开此生态保护区。
首先，利用百度地图，经过对相关站点标定、测距，截取地图中与问题相关的有效区域，按相应距离建立直角坐标系。然后，对有效区域进行网格处理，进而得到该坐标系下秦岭环山路的几个坐标点。接着，利用拉格朗日插值法，由得到的点坐标在MATLAB中拟合出一个近似函数y=?（x），并且可设出主线路对应的分段函数式y=g(x)。最后，根据题意得出的关于?（x）、g(x)的约束条件，把选址问题转化为求临界值的问题并在MATLAB中编程实现。 3. 2 问题二的分析
问题二分两个部分：
第一部分要求计算该线路采用地面和高架两种方式铺设的费用，这需要结合附件给出的资料以及在网络上广泛搜集资料，从中提取有关两种方式的造价数据，并对这些数据进行整合处理，最后进行相关计算。
第二部分要求给出费用最小的道路及施工方式，归类于典型的最优化问题。解决最优化问题的常见方法有线性规划，非线性规划、动态规划，遗传算法等。考虑到本问题只涉及到两个变量，且约束条件与目标函数皆为线性的，故选择建立二元线性规划模型进行求解。 3.3 问题三的分析
问题三是建立在问题二的基础上，要求预测线路建成后对学生与学校带来的影响。首先，对学生而言，轻轨的建成必将大大缩短学生往返新老校区及周边区域的乘车用时，再者，对西北工业大学而言，轻轨在便利学生的同时，帮助学校解决了校车运营开销大，效率低的难题，还对教学科研等综合效益大有提升。这是对轻轨主要影响的定性分析。但对于学校的长远发展来说，还需要合理地对线路建成后的影响进行定量分析，以便帮学校未来发展规划提供有力依据。
鉴于题目附件给出的数据多而且涉及较多影响因素，我们考虑运用分类整合数据的方法加以综合加权法，在庞大的数据中，找到学生乘车时间T及学校运营校车费用W的主要影响因素的参考值进行处理并进行研究，从而达到简化问题的目的。
四、模型假设
1.假设轻轨的宽度取其区间最大值8.5m
2.假设拆迁补偿基价一律按营业用房给予补偿
3.假设校车往返Ｃ，Ｄ点间的路程为ＣＤ间的直线距离
4.假设西沣路车队的平均运营成本可代替校车的平均运营成本 5.假设在轻轨修建成功后84.62%的人选择乘坐轻轨出行
五、符号说明
规划支线路（简图ＣＤ段）的总长度：L（7.5km） 校车往返新老校区间单程用时：T 校车往返新老校区间的速度：V1 校车往返新老校区间的单程距离：L1
校车往返轻轨支线（简图ＣＤ段）单程用时T2 轻轨往返轻轨支线（简图ＣＤ段）单程用时T3 轻轨的平均时速V2（200km/h） 轻轨相邻站点的间距d（0.8km） 公交车平均每辆每月成本P