发布时间 : 星期六 文章函数的值域与最值求法精讲更新完毕开始阅读
t?[?2,10]
例：试求函数y?sinx?cosxsinx?cosx的值域。 解：题中出现cosx?sinx而sin2x?cos2x?1,(sinx?cosx)?1?2sinxcosx由此联
2想到将cosxsinx视为一整体，令t?sinx?cosx?[?2,2]由上面的关系式易得
t?1222t2?1?2sinxcosx?sinxcosx?故原函数可变形为：
y?t?t?12122(t?[?2,2])即2y?(t?1)?2,y?12(t?1)?1?t?[?2,2]
2?y?[?1,?2]
B
（5）分离常数法（分式转化法）；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成y?k?f(x)(k为常数)的形式来求值域．
x?xx?x?122例：求函数y?的值域。
解:观察分子、分母中均含有x2?x项,可利用部分分式法；则有
x?xx?x?122y??x?x?1?1x?x?122?1?(x?112)?234
不妨令：f(x)?(x?12)?234,g(x)??3(f(x)?0)从而f(x)??,??? f(x)?4341注意：在本题中若出现应排除f(x)?0,因为f(x)作为分母.所g(x)?(0,]故
y?[?13,1)
另解：观察知道本题中分子较为简单,可令y?进而可得到y的值域。
'x?x?1x?x22?1?1x?x2,求出y的值域,
'
（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y?例：求函数y?2xx?1ax?bcx?d,x?(m,n)
的值域。
解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。
y?2xx?1反解得x?y2?y 即y?x2?x
反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：y?(??,2)?(2,??)。
1?x1?x22变式1：函数y=的值域是（ ）
B.（－1，1］
C.［－1，1）
D.
A.［－1，1］ （－1，1） 解法一：y=
1?x1?x22=
21?x2－1. ∵1+x≥1，∴0＜
2
21?x2≤2.∴－1＜y≤1.
解法二：由y=
1?x1?x22，得x=
2
1?y1?y.∵x≥0，∴
2
1?y1?y2≥0，解得－1＜y≤1.
解法三：令x=tanθ（－
π2＜θ＜
π2），则y=
1?tan?1?tan?2=cos2θ
.∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.答案：B 变式2:求函数y?3?x2x?5?x?0?的值域
，及y?22xx变式
x?x3:求函数y?10?1010x?10?x?12的值域
（7）利用判别式法 针对分式型y?ax?bx?cmx2?nx?p，尤其是分母中含有(其中a2?m2?0）2
x时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程a（y）x+ b（y）x+c（y）=0，则
2在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.
2
例：求函数y?2x?4x?7x?2x?322的值域。
解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：xy?2xy?3y?2x?4x?7整理得：(y?2)x?2(y?2)x?3y?7?0当
y?2时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足f(x)?x?2x?3?0即x?R此时方程有实根即△?0,
2222△??2(y?2)]?4(y?2)(3y?7)?0?y?[?292,2].
细心的读者不难发现，在前面限定y?2而结果却出现：y?2我们是该舍还是留呢？ 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y?2,y??将y?2,y??变式：
2x?x?2?1?y?2的值域。???,?1???,??? ②y?2；[1,5]
x?2x?2x?x?1?2?x?x?12x?2x?3229292）代回方程检验。
,2)。
92分别代入检验得y?2不符合方程，所以y?[?2x?12③y?
注意：1.一般用在定义域为R的情况下，如果定义域不是R，也可用，但需对最后的结果进行检验、既对y取得等号值的时候对应的x值是否在定义域范围内。 2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论 3.若对自变量有其他限制，就不好用判别式法了
4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法，要先化简。如求函数y?域。
原函数可化为y?
(x?2)(x?1)(x?1)(x?1)x?x?2x?122的值
=
(x?2)(x?1)(x??1), 即y?
1+
1x?1(x??1),?1x?1?0,
（8）三角有界法：运用三角函数有界性来求值域； 转化为只含正弦、余弦的函数，如y?解不等式求出y的取值范围. 例：求函数y?2sin??11?sin?sinx1?sinx，可用y表示出sinx，再根据?1?sinx?1，y?2sin??11?cos?的值域（答： (??,]、(??,]）；
2213求函数y?2cosx?13cosx?2的值域。
????,1??5????3,???