发布时间 : 星期三 文章第二章习题 导数与微分(2014)更新完毕开始阅读
高等数学习题集
第二章 导数与微分
（基础篇）
一、填空题
1．设f(x)?arcsin2x，则f'(x)?_______________________________． 2. 设f(u)可导，y?f(ex?sinx)，则dy? ___________________________________． dx3. d(ex2sin2x)= dx．
4．设函数f(x)?(x?1)(x?2)?(x?2014)，则f?(2014)= ． 5. y?esin2x，则dy?______________． 二、选择题
1．设f?(xf(x0?3h)?f(x0?h)0)?1，则limh?01?h?1=（ ）
（A）?4； （B）4； （C）?8； （D）8。
2．设函数f(x)在x?1处可导，f(1)?2,f?(1)?3，则limf2(1?h)?f2(1)h?0ln(1?h)=（（A）2； （B）3； （C）6； （D）12。
?3．设函数f(x)??x?1?e1x?0x，则f(x)在x?0处（ ）
??0x?0（A）左导数不存在，右导数存在； （B）左导数存在，右导数不存在；
（C）左、右导数都存在，但不相等，所以导数f?(0)不存在； （D）左、右导数都不存在，所以导数f?(0)不存在。
4．设f(x)?x3?x(x3?x2?6x)，则f(x)不可微点的个数为（ ）
（A）3； （B）2； （C）1； （D）0。
5. 已知函数y?y(x)由方程组??x?3t2?2tdy?eysint?y?1?0给出，则dx=（ ）
t?0（A）1； （B）e； （C）
12； （D）e2。 三、利用对数求导法则求下列函数的导数：
1
）。
高等数学习题集
1）设 y?(tanx)sinx(x?1)2(x?1)dydy，求 ； 2）设y?3，求；
dxdx(x?2)(x?2)2，求y'(x)。
3）设y(x)?(1?sinx)x(x?1)2232x?1四、求由下列方程所确定的y关于x的函数的导数
dy： dx1）y?arctan(x?y)； 2）xy?ex?2y； 3）1?sin(x?y)?e?xy。
dyd2y五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数和二阶导数： 2dxdx?x?cos3t?x?ln(1?t2)1）?； 2）?。 3?y?sint?y?t?arctant六、设f(x)为可导函数，求
dy： dx1）y?f(sin2x)； 2）y?f3(x2?arctanx)。 七、设y?y(x)由方程xy?y?arctany 所确定，求曲线y?y(x)上点(1?切线方程和法线方程。
?4,1)处的
1?t?x?3?t八、设曲线y?y(x)由参数方程 ? 给出，求曲线在t?1对应点处的切线方31?y?2?2t2t?程与法线方程。
九、已知物体的运动规律s(t)?2sint?e?2t（米），求这物体运动的速度和加速度。
?sin2x?十、设函数f(x)??x3??xx?0x?0 ，判断函数f(x)在x?0处的连续性与可导性。
?1?1?x?十一、设函数f(x)??x??ax?bx?0 处处连续可导，求 a,b。
x?0x?0?sinx,十二、设f(x)??，求导数f'(x)。
ln(1?x),x?0?
2
高等数学习题集
（提高篇）
2x?1dy)，求。 x?1dx1x1二、设f(x)?(1?)，求f?()。
x211三、设两曲线y?与y?ax2?b在点(2,)处有公共切线， 求a,b值。
2xn)。 四、设f(1)?0，f?(1)?2，求limnf(n??n?2一、设f?(x)?lnx，令y?f(1??(x?1)?sin五、设函数f(x)??x?1?0?六、1）已知函数f(x)?x?1x?1在点x?1处可微，求?的取值范围。
1(n)，求f(x)； 2?x(2n)2）设函数f(x)?cos2x，求f。 (x)（n为自然数）
七、求由方程 x?2y?siny?0 所确定的隐函数y(x)的导数y''(x)。 八、设(cosy)x?(sinx)y，求y'。 九、试确定a,b，使f(x)???b(1?sinx)?a?2,x?0在x?0处可导。 axe?1,x?0?dydxt?0?x?2t?t,十、设?2?y?5t?4tt, 求。
?x?f'(t),十一、??y?tf'(t)?f(t),dyd2y,2。 ，求
dxdxf''(t)?0十二、呈长方形的某物其长宽可以任意调整，其长a以3厘米/秒的速度减小，宽b以3厘米/秒的速度增长，若其初始长a?10厘米，宽b?5厘米，求：
1） 此物面积的变化率； 2） 周长的变化率； 3） 对角线长的变化率。
3
高等数学习题集
（应用篇）
1. 假设飞机在起飞前沿跑道滑行的距离由公式s?102t给出，其中s是从起点算起的以米9计的距离，而t是从刹闸放开算起以秒计的时间。已知当飞机速度达到200公里/小时时，飞机就离地升空。试问要使飞机处于起飞状态需要多长时间，并计算这个过程中飞机滑行的距离。
2. 一辆大型客车能容纳60人。租用该车旅游时，当乘客人数为x（人）时，每位乘客支
?x?付的票价p(x)（元）满足关系式：p(x)?8??3?。求租用该客车的公共汽车在这
?40?次旅行中所获得的收入r(x)，使其边际收入为0的旅客量是多少？此时每位乘客支付的相应的票价是多少？（这个票价是使收入最大的票价，如果公共汽车公司可以选择乘客数量的话，则该公司可以设法将乘客保持在一个数量，在获得最大效益的同时还能使车内乘车环境更宽松。）
3. 一匹赛马正在跑一个10浪的比赛（1浪=200米）。当马跑过每浪的标记(F)时，裁判员
就记下自比赛开始算起所用的时间(t)，F(浪)—t(秒)的关系见下表：
2F 0 0 1 20 2 33 3 46 4 59 5 73 6 86 7 100 8 112 9 124 10 135 t 1）这匹赛马在跑前5浪的平均速度是多少？（以米/秒计） 2）通过第三浪标记的近似速度是多少？（以米/秒计） 3）在哪段时间内赛马跑得最快？ 4）在哪段时间内赛马加速最快？
4